Ex. 1.1. Adaptado de Budynas, 1999
Considere um tensor de tensões em um ponto P expresso por
\sigma=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{array}\right][\mathrm{MPa}]
Utilizando o tensor acima, calcule o vetor de tensões no plano perpendicular ao eixo y.

Passo 1

O enunciado dá um tensor de tensões no ponto P:
\sigma=\begin{pmatrix} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\\ [\mathrm{MPa}].
A pergunta é: calcular o vetor de tensões (vetor tração) no plano perpendicular ao eixo y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz \sigma acima é o tensor de tensões em coordenadas cartesianas (x,y,z).
  • O plano pedido é perpendicular ao eixo y. Isso significa que o vetor normal a esse plano é paralelo ao eixo y.
  • Deve ser calculado o vetor de tensões no plano, isto é, a tração \mathbf{t} que atua na superfície com normal \mathbf{n} correspondente ao eixo y.

Passo 2

Conceito-chave: definição do vetor tração (vetor de tensões) em um plano com normal \mathbf{n}.
A fórmula direta é
\mathbf{t}=\sigma\,\mathbf{n},
onde:
  • \mathbf{t} é o vetor tração (componentes da tensão que atuam na face cujo vetor normal é \mathbf{n});
  • \sigma é o tensor de tensões (matriz 3\times3);
  • \mathbf{n} é o vetor unitário normal à face (coluna 3\times1).
Explicando em palavras simples: a matriz \sigma transforma o vetor normal \mathbf{n} numa combinação linear que dá as componentes da força por unidade de área (tensão) sobre a face com aquela normal.

Passo 3

Determinar o vetor normal \mathbf{n} para o plano perpendicular ao eixo y.
O eixo y tem vetor unitário
\mathbf{e}_y=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Como o plano é perpendicular ao eixo y, seu vetor normal é exatamente \mathbf{n}=\mathbf{e}_y. Portanto
\mathbf{n}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula \mathbf{t}=\sigma\,\mathbf{n}.
Escrevendo a multiplicação matricial:
\mathbf{t}= \begin{pmatrix} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para multiplicar, cada componente de \mathbf{t} é a combinação linha da matriz com \mathbf{n}:
t_x = 5\cdot 0 + 3\cdot 1 + 2\cdot 0 = 3,
t_y = 3\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 0\cdot 0 = -1,
t_z = 2\cdot 0 + 0\cdot 1 + 4\cdot 0 = 0.
Então
\mathbf{t}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\\ [\mathrm{MPa}].
Observação útil (como lembrar na prova): multiplicar \sigma por \mathbf{e}_y é o mesmo que pegar a segunda coluna de \sigma. Aqui a segunda coluna é \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, que é exatamente \mathbf{t}.

Passo 5

Decomposição da tração em componente normal e componente tangencial (corte), que costuma ser pedida em problemas práticos.
A componente normal (escalar) é
\sigma_n = \mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = -1\\ [\mathrm{MPa}].
Interpretação: \sigma_n é a tensão normal ao plano. Se a convenção é positiva para tração (tensão de tração), então \sigma_n=-1 indica compressão de 1\\ \mathrm{MPa}.
A componente tangencial (vetor de cisalhamento) é
\mathbf{t}_\mathrm{tan}=\mathbf{t}-\sigma_n\,\mathbf{n} =\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}-(-1)\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\\ [\mathrm{MPa}].
Magnitude do cisalhamento:
\|\mathbf{t}_\mathrm{tan}\|=3\\ [\mathrm{MPa}].
Magnitude total do vetor tração:
\|\mathbf{t}\|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{10}\\ [\mathrm{MPa}]\approx 3{,}1623\\ [\mathrm{MPa}].

Passo 6

Resumo prático — o que levar para a prova:
  • Identifique o vetor normal \mathbf{n} da face pedida.
  • Use \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}. Para \mathbf{n}=\mathbf{e}_y, apenas pegue a segunda coluna de \sigma.
  • Se pedirem, decomponha \mathbf{t} em normal ( \sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}) e tangencial ( \mathbf{t}_\mathrm{tan}=\mathbf{t}-\sigma_n\mathbf{n}).

Resposta

\displaystyle \mathbf{t}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\\ [\mathrm{MPa}]

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