Ex. 1.1. Adaptado de Budynas, 1999
Considere um tensor de tensões em um ponto P expresso por
\sigma=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{array}\right][\mathrm{MPa}]
Utilizando o tensor acima, Determine as tensões cisalhantes em um plano perpendicular ao eixo z.

Passo 1

Dados fornecidos: o tensor de tensões no ponto P é
\sigma=\begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}\\ [\mathrm{MPa}].
O que o enunciado pede: determinar as tensões cisalhantes em um plano perpendicular ao eixo z.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada devagarinho). Para qualquer plano, a força por unidade de área (vetor tração) sobre esse plano é dada por
\mathbf{t}=\sigma\mathbf{n},
onde:
  • \mathbf{t}=(t_x,t_y,t_z)^{\mathsf{T}} é o vetor tração (componentes nas direções x,y,z);
  • \sigma é o tensor (matriz) de tensões dado;
  • \mathbf{n} é o vetor unitário normal ao plano considerado.
No nosso caso o plano é perpendicular ao eixo z, então o vetor normal unitário é
\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.
As componentes tangenciais (cisalhantes) no plano são as componentes de \mathbf{t} que ficam nas direções x e y, isto é t_x e t_y. Observação prática: na notação de tensões, essas componentes correspondem a \sigma_{xz} e \sigma_{yz} (ou \tau_{xz} e \tau_{yz}).

Passo 3

Calcular a tração \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}. Fazendo a multiplicação matriz-vetor:
\mathbf{t}= \begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\cdot 0 + 3\cdot 0 + 2\cdot 1\\[4pt] 3\cdot 0 + (-1)\cdot 0 + 0\cdot 1\\[4pt] 2\cdot 0 + 0\cdot 0 + 4\cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]4\end{bmatrix}\\ [\mathrm{MPa}].]

Passo 4

Interpretação dos resultados:
  • A componente normal ao plano (tensão normal) é t_z=4\\ \mathrm{MPa} (apenas para referência).
  • As tensões cisalhantes no plano são as componentes tangenciais:
    • \tau_{xz}=t_x=2\\ \mathrm{MPa},
    • \tau_{yz}=t_y=0\\ \mathrm{MPa}.
Também é útil saber a intensidade do cisalhamento resultante no plano (magnitude do vetor cisalhante):
\tau_{\text{res}}=\sqrt{t_x^{2}+t_y^{2}}=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Comentário prático e empurrãozinho para a prova: uma maneira rápida de ver isso sem multiplicar a matriz inteira é lembrar que \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n} e, para \mathbf{n}=(0,0,1), a tração é simplesmente a terceira coluna da matriz \sigma. Ou seja, as entradas \sigma_{13},\sigma_{23},\sigma_{33} são exatamente t_x,t_y,t_z. Como a matriz de tensões é simétrica, \sigma_{13}=\sigma_{31} e assim por diante — isso às vezes ajuda a verificar a resposta.

Resposta

\tau_{xz}=2\\ \mathrm{MPa}
\tau_{yz}=0\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\text{res}}=2\\ \mathrm{MPa}

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