Ex. 1.2. Adaptado de Spencer, 1980
Considere um tensor de tensões em um ponto P expresso por
\sigma=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\\\ 3 & 8 & 12 \\\\ 4 & 12 & 2 \end{array}\right][\mathrm{MPa}]
Utilizando o tensor acima, (a) calcule o vetor de tensões no plano perpendicular ao eixo y; (b) Determine a tensão normal em um plano perpendicular ao eixo x; (c) Calcule o vetor de tensões em um plano paralelo ao plano 2 x-2 y-1=0; (d) Determine as tensões principais.

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões no ponto P:
\sigma=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\\\ 3 & 8 & 12 \\\\ 4 & 12 & 2 \end{array}\right]\\ [\mathrm{MPa}].
As perguntas são:
(a) calcular o vetor de tensões (vetor tração) no plano perpendicular ao eixo y;
(b) determinar a tensão normal em um plano perpendicular ao eixo x;
(c) calcular o vetor de tensões em um plano paralelo ao plano 2x-2y-1=0;
(d) determinar as tensões principais (autovalores do tensor).
Vou usar as informações do tensor acima para responder cada item.

Passo 2

Conceito e cálculo do vetor tração em um plano com normal \mathbf{n}.
A definição que precisamos: o vetor de tensões (tração) \mathbf{t} atuando num plano cuja unidade normal é \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}.
Aqui \sigma é a matriz dada (tensão de Cauchy) e \mathbf{n} deve ser unitário (norma 1). O produto \sigma\mathbf{n} é multiplicação matriz-vetor.
Para o item (a) o plano é perpendicular ao eixo y. A normal unitária ao plano perpendicular ao eixo y é
\mathbf{n}=(0,1,0)^\mathrm{T}.
Agora aplicamos \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}. Multiplicando a matriz pela coluna (0,1,0)^\mathrm{T} obtemos exatamente a segunda coluna de \sigma:
\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]8\\[4pt]12\end{array}\right]\\ \text{MPa}.
Interpretação rápida: esse vetor nos dá as componentes da tração no plano cujo normal aponta na direção +y; a componente normal ao plano é a componente na direção de \mathbf{n} (aqui será usada no item (b) quando for o eixo x).]

Passo 3

Item (b): tensão normal em plano perpendicular ao eixo x.
Para um plano perpendicular ao eixo x a normal unitária é \mathbf{n}=(1,0,0)^\mathrm{T}. O vetor tração é
\mathbf{t}=\sigma\mathbf{n},
que é a primeira coluna de \sigma:
\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{array}\right]\\ \text{MPa}.
A tensão normal nesse plano é a componente de \mathbf{t} na direção do normal \mathbf{n}, isto é
\sigma_n=\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}=\mathbf{n}^\mathrm{T}\sigma\mathbf{n}.
Como \mathbf{n}=(1,0,0)^\mathrm{T} isso reduz a \sigma_{xx}, o elemento (1,1) da matriz:
\sigma_n=\sigma_{xx}=2\\ \text{MPa}.]

Passo 4

Item (c): vetor de tensões em um plano paralelo ao plano 2x-2y-1=0.
Primeiro extraímos a normal do plano dado. A equação 2x-2y-1=0 tem vetor normal proporcional a (2,-2,0). Precisamos da normal unitária:
\mathbf{n}_0=(2,-2,0)^\mathrm{T},\qquad \|\mathbf{n}_0\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo a normal unitária é
\mathbf{n}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2,-2,0)^\mathrm{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^\mathrm{T}.
Agora calculamos \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}. Faço a multiplicação componente a componente:
Primeira componente:
t_1=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+3\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)+4\cdot 0=\frac{2-3}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Segunda componente:
t_2=3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+8\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)+12\cdot 0=\frac{3-8}{\sqrt{2}}=-\frac{5}{\sqrt{2}}.
Terceira componente:
t_3=4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+12\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)+2\cdot 0=\frac{4-12}{\sqrt{2}}=-\frac{8}{\sqrt{2}}.
Podemos racionalizar essas frações para formas alternativas úteis:
-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad -\frac{5}{\sqrt{2}}=-\frac{5\sqrt{2}}{2},\qquad -\frac{8}{\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}.
Se for conveniente uma forma numérica aproximada (duas casas decimais):
\mathbf{t}\approx\left[\begin{array}{c}-0,71\\[4pt]-3,54\\[4pt]-5,66\end{array}\right]\\ \text{MPa}.]

Passo 5

Item (d): tensões principais — ideia e método.
Tensões principais são os autovalores (valores próprios) do tensor de tensões \sigma. Para encontrá-las resolvemos a equação característica
\det\big(\sigma-\lambda I\big)=0,
onde I é a matriz identidade e \lambda são os autovalores. Como \sigma é simétrica, sabemos que os autovalores serão reais e que auto-vetores ortogonais existem.
Calculo do polinômio característico passo a passo:
Formamos \sigma-\lambda I:
\sigma-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc} 2-\lambda & 3 & 4 \\\\ 3 & 8-\lambda & 12 \\\\ 4 & 12 & 2-\lambda \end{array}\right].
O determinante (expansão por primeira linha) dá
\begin{aligned} \det(\sigma-\lambda I)&=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}8-\lambda & 12\\[4pt]12 & 2-\lambda\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}3 & 12\\[4pt]4 & 2-\lambda\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}3 & 8-\lambda\\[4pt]4 & 12\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}8-\lambda & 12\\[4pt]12 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(8-\lambda)(2-\lambda)-144=\lambda^2-10\lambda-128,
\det\begin{pmatrix}3 & 12\\[4pt]4 & 2-\lambda\end{pmatrix}=3(2-\lambda)-48=-3\lambda-42,
\det\begin{pmatrix}3 & 8-\lambda\\[4pt]4 & 12\end{pmatrix}=36-4(8-\lambda)=4+4\lambda.
Substituindo e simplificando obtemos o polinômio cúbico
\det(\sigma-\lambda I)=-\lambda^3+12\lambda^2+133\lambda-114.
Multiplicando por -1 para ficar na forma padrão:
\lambda^3-12\lambda^2-133\lambda+114=0.]

Passo 6

Resolver numericamente o cúbico (explicação didática).
Tentativa de raízes racionais pela regra de Gauss não deu raízes inteiras simples (testando divisores de 114). Então partimos para aproximação numérica.
Primeiro localizamos um sinal de mudança para encontrar um intervalo contendo uma raiz. Avaliando o polinômio f(\lambda)=\lambda^3-12\lambda^2-133\lambda+114 em alguns pontos:
f(15)\approx-1206,\qquad f(18)\approx-336,\qquad f(18{,}75)\approx-6{,}70,\qquad f(18{,}8)\approx15{,}39.
Isso mostra uma raiz entre 18{,}75 e 18{,}8. Fazendo refinamentos (bisseção/interpolação) chegamos à raiz aproximada
\lambda_1\approx18{,}77\\ \text{(MPa)}.
Agora, usando relações entre coeficientes (soma e produto das raízes) para achar as outras duas sem dividir explicitamente o polinômio:
Se as três raízes são \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3, então
\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\operatorname{tr}(\sigma)=12,
\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det(\sigma)=-114.
Com \lambda_1 aproximada, as duas restantes têm soma
S_{23}=\lambda_2+\lambda_3=12-\lambda_1\approx 12-18{,}77=-6{,}77.
E produto
P_{23}=\lambda_2\lambda_3=\frac{\det(\sigma)}{\lambda_1}\approx\frac{-114}{18{,}77}\approx-6{,}08.
As \lambda_2,\lambda_3 são raízes do quadrático
\mu^2-S_{23}\mu+P_{23}=0,
ou seja
\mu^2+6{,}77\mu-6{,}08=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) obtemos as duas raízes:
\lambda_{2,3}=\frac{-6{,}77\pm\sqrt{6{,}77^2+4\cdot6{,}08}}{2}.
Calculando dá aproximadamente
\lambda_2\approx0{,}80\\ \text{MPa},\qquad \lambda_3\approx-7{,}56\\ \text{MPa}.
Breve verificação: soma aproximadamente 18{,}77+0{,}80-7{,}56\approx12 e produto aproximadamente -114, consistente com os invariantes.

Passo 7

Resumo numérico (arredondado a duas casas decimais quando apropriado) e observações finais.
  • O vetor tração no plano perpendicular ao eixo y é exatamente a segunda coluna de \sigma: \big[3,\,8,\,12\big]^\mathrm{T} MPa.
  • A tensão normal no plano perpendicular ao eixo x é \sigma_{xx}=2 MPa.
  • O vetor tração para um plano paralelo a 2x-2y-1=0 com normal unitária \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0) é
\mathbf{t}=\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\\ -\dfrac{5}{\sqrt{2}},\\\ -\dfrac{8}{\sqrt{2}}\right]^\mathrm{T}\\ \text{MPa}
(formas equivalentes: \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\\\ -4\sqrt{2}\right]^\mathrm{T} MPa; aproximado (-0{,}71,\,-3{,}54,\,-5{,}66)^\mathrm{T} MPa).
  • As tensões principais (autovalores de \sigma) são aproximadamente
\lambda_1\approx18{,}77\\ \text{MPa},\qquad \lambda_2\approx0{,}80\\ \text{MPa},\qquad \lambda_3\approx-7{,}56\\ \text{MPa}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]8\\[4pt]12\end{array}\right]\\ \text{MPa}
(b) \displaystyle \sigma_n=2\\ \text{MPa}
(c) \displaystyle \mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\\[6pt]-\dfrac{8}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\\ \text{MPa}\approx\left[\begin{array}{c}-0,71\\[4pt]-3,54\\[4pt]-5,66\end{array}\right]\\ \text{MPa}
(d) \displaystyle \lambda_1\approx18,77\\ \text{MPa},\quad \lambda_2\approx0,80\\ \text{MPa},\quad \lambda_3\approx-7,56\\ \text{MPa}]

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