Utilizando o tensor acima, (a) calcule o vetor de tensões no plano perpendicular ao eixo y; (b) Determine a tensão normal em um plano perpendicular ao eixo x; (c) Calcule o vetor de tensões em um plano paralelo ao plano 2 x-2 y-1=0; (d) Determine as tensões principais.
As perguntas são:
(a) calcular o vetor de tensões (vetor tração) no plano perpendicular ao eixo y;
(b) determinar a tensão normal em um plano perpendicular ao eixo x;
(c) calcular o vetor de tensões em um plano paralelo ao plano 2x-2y-1=0;
(d) determinar as tensões principais (autovalores do tensor).
Vou usar as informações do tensor acima para responder cada item.
Passo 2
Conceito e cálculo do vetor tração em um plano com normal \mathbf{n}.
A definição que precisamos: o vetor de tensões (tração) \mathbf{t} atuando num plano cuja unidade normal é \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}.
Aqui \sigma é a matriz dada (tensão de Cauchy) e \mathbf{n} deve ser unitário (norma 1). O produto \sigma\mathbf{n} é multiplicação matriz-vetor.
Para o item (a) o plano é perpendicular ao eixo y. A normal unitária ao plano perpendicular ao eixo y é
\mathbf{n}=(0,1,0)^\mathrm{T}.
Agora aplicamos \mathbf{t}=\sigma\mathbf{n}. Multiplicando a matriz pela coluna (0,1,0)^\mathrm{T} obtemos exatamente a segunda coluna de \sigma:
Interpretação rápida: esse vetor nos dá as componentes da tração no plano cujo normal aponta na direção +y; a componente normal ao plano é a componente na direção de \mathbf{n} (aqui será usada no item (b) quando for o eixo x).]
Passo 3
Item (b): tensão normal em plano perpendicular ao eixo x.
Para um plano perpendicular ao eixo x a normal unitária é \mathbf{n}=(1,0,0)^\mathrm{T}. O vetor tração é
Tensões principais são os autovalores (valores próprios) do tensor de tensões \sigma. Para encontrá-las resolvemos a equação característica
\det\big(\sigma-\lambda I\big)=0,
onde I é a matriz identidade e \lambda são os autovalores. Como \sigma é simétrica, sabemos que os autovalores serão reais e que auto-vetores ortogonais existem.
Calculo do polinômio característico passo a passo:
Resolver numericamente o cúbico (explicação didática).
Tentativa de raízes racionais pela regra de Gauss não deu raízes inteiras simples (testando divisores de 114). Então partimos para aproximação numérica.
Primeiro localizamos um sinal de mudança para encontrar um intervalo contendo uma raiz. Avaliando o polinômio f(\lambda)=\lambda^3-12\lambda^2-133\lambda+114 em alguns pontos: