(Adaptado de NILSSON.) Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=\frac{102(s+1)}{s^{2}\left(s^{2}+2 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de Laplace transformada
F(s)=\frac{102(s+1)}{s^{2}\left(s^{2}+2 s+5\right)}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dado: }F(s)=\frac{102(s+1)}{s^{2}\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)}.
Pergunta que respondemos: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, expressão em função de t.

Passo 2

Estratégia algébrica: vamos decompor F(s) em frações parciais no formato
\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C s + D}{s^{2}+2s+5},
pois o termo s^{2}+2s+5 é um quadrático irreduzível (mas podemos completar o quadrado). Antes, reescrevo o quadrático completando o quadrado:
s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
Então a forma de decomposição escolhida é apropriada para usar pares padrões da transformada inversa.

Passo 3

Escrevo a igualdade de identidades multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+2s+5):
102(s+1)=A s\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)+B\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)+(C s + D)s^{2}.
Vou expandir e agrupar coeficientes por potências de s. Primeiro expando os termos à direita:
A s\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)=A s^{3}+2A s^{2}+5A s,
B\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)=B s^{2}+2B s+5B,
(C s + D)s^{2}=C s^{3}+D s^{2}.
Somando tudo, os coeficientes por potências de s são:
s^{3}:\; A + C,
s^{2}:\; 2A + B + D,
s^{1}:\; 5A + 2B,
s^{0}:\; 5B.

Passo 4

Comparo com o lado esquerdo 102(s+1)=102 s + 102, que tem coeficientes:
s^{3}:0,\quad s^{2}:0,\quad s^{1}:102,\quad s^{0}:102.
Assim obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} A + C = 0,\\[6pt] 2A + B + D = 0,\\[6pt] 5A + 2B = 102,\\[6pt] 5B = 102. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema começando pela última equação:
5B=102 \implies B=\frac{102}{5}.
Uso isso na terceira equação para achar A:
5A + 2B = 102 \implies 5A + 2\cdot\frac{102}{5}=102.
Multiplico por 5:
25A + 204 = 510 \implies 25A = 306 \implies A=\frac{306}{25}.

Passo 6

Encontro C pela primeira equação:
A + C = 0 \implies C=-A=-\frac{306}{25}.
Agora D pela segunda equação:
2A + B + D = 0 \implies D = -2A - B.
Substituindo A e B:
D = -2\cdot\frac{306}{25} - \frac{102}{5} = -\frac{612}{25} - \frac{510}{25} = -\frac{1122}{25}.

Passo 7

Portanto a decomposição em frações parciais é
F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C s + D}{(s+1)^{2}+4}
com
A=\frac{306}{25},\quad B=\frac{102}{5},\quad C=-\frac{306}{25},\quad D=-\frac{1122}{25}.

Passo 8

Agora preparamos a inversa de cada termo usando propriedades básicas da transformada de Laplace e pares usuais:
  • Linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a f(t)+b g(t).
  • Pares usuais: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
No nosso caso o quadrático está na forma (s+1)^{2}+2^{2}, então a=1 e b=2.

Passo 9

Para o termo \dfrac{C s + D}{(s+1)^{2}+4} escrevo o numerador em função de (s+1):
C s + D = C(s+1) + (D - C).
Logo
\frac{C s + D}{(s+1)^{2}+4} = C\frac{(s+1)}{(s+1)^{2}+2^{2}} + (D-C)\frac{1}{(s+1)^{2}+2^{2}}.
Pelas correspondências:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+2^{2}}\right\}=e^{-t}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+2^{2}}\right\}=\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).

Passo 10

Agora aplico a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{A}{s}\right\}=A, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{B}{s^{2}}\right\}=B\,t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{C\frac{(s+1)}{(s+1)^{2}+4}\right\}=C\,e^{-t}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{(D-C)\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\}=(D-C)\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).
Substituo os valores de A,B,C,D. Primeiro calculo D-C:
D-C = -\frac{1122}{25} -\left(-\frac{306}{25}\right) = -\frac{816}{25}.
Metade disso é \dfrac{D-C}{2}=-\dfrac{408}{25}.
Portanto
f(t)=\frac{306}{25}+\frac{102}{5}\,t-\frac{306}{25}e^{-t}\cos(2t)-\frac{408}{25}e^{-t}\sin(2t).
Podemos fatorar \dfrac{102}{25} para uma forma mais compacta (opcional):
f(t)=\frac{102}{25}\Bigl(3+5t-3e^{-t}\cos(2t)-4e^{-t}\sin(2t)\Bigr).

Resposta

f(t)=\frac{306}{25}+\frac{102}{5}\,t-\frac{306}{25}e^{-t}\cos(2t)-\frac{408}{25}e^{-t}\sin(2t).

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