(Adaptado de NILSSON.) Determine
para cada uma das seguintes funções
Passo 1
O enunciado nos dá a função de Laplace transformada
e pede para determinar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
.
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta que respondemos: encontrar
, expressão em função de
.
Passo 2
Estratégia algébrica: vamos decompor
em frações parciais no formato
pois o termo
é um quadrático irreduzível (mas podemos completar o quadrado). Antes, reescrevo o quadrático completando o quadrado:
Então a forma de decomposição escolhida é apropriada para usar pares padrões da transformada inversa.
Passo 3
Escrevo a igualdade de identidades multiplicando ambos os lados por
:
Vou expandir e agrupar coeficientes por potências de
. Primeiro expando os termos à direita:
Somando tudo, os coeficientes por potências de
são:
Passo 4
Comparo com o lado esquerdo
, que tem coeficientes:
Assim obtemos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema começando pela última equação:
Uso isso na terceira equação para achar
:
Multiplico por
:
Passo 6
Encontro
pela primeira equação:
Agora
pela segunda equação:
Substituindo
e
:
Passo 7
Portanto a decomposição em frações parciais é
com
Passo 8
Agora preparamos a inversa de cada termo usando propriedades básicas da transformada de Laplace e pares usuais:
- Linearidade:
. - Pares usuais:
No nosso caso o quadrático está na forma
, então
e
.
Passo 9
Para o termo
escrevo o numerador em função de
:
Logo
Pelas correspondências:
Passo 10
Agora aplico a transformada inversa termo a termo:
Substituo os valores de
. Primeiro calculo
:
Metade disso é
.
Portanto
Podemos fatorar
para uma forma mais compacta (opcional):