(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de
, um indutor de
e um capacitor de
estão em paralelo.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
Passo 1
O enunciado dá uma combinação em paralelo de três componentes com os seguintes valores:
As perguntas são:
(a) Expressar a impedância dessa combinação no domínio da frequência como uma função racional .
(b) Determinar numericamente os pólos e zeros de .
(a) Expressar a impedância dessa combinação no domínio da frequência como uma função racional
(b) Determinar numericamente os pólos e zeros de
Passo 2
Primeiro, lembrar as impedâncias/admitâncias no domínio de Laplace (variável
):
Admitância é o inverso da impedância:
. Em paralelo as admitâncias somam, portanto a admitância total é
A impedância total da associação em paralelo é então
Isso é a ideia geral que vamos manipular simbolicamente para obter uma função racional.
Passo 3
Agora escrevemos
de forma a obter um denominador comum fácil de inverter. Começamos por pôr tudo sobre um mesmo denominador
:
Multiplicando ambos os lados por
(para juntar termos) temos
Logo
Invertemos para obter
:
Pronto: essa é a forma racional simbólica da impedância (numerador linear em
, denominador quadrático em
).
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos unidades para SI:
Calculamos os coeficientes que aparecem no denominador:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Determinar os zeros: zeros de
são raízes do numerador. O numerador é
, portanto
com multiplicidade 1.
Passo 6
Determinar os polos: polos são raízes do denominador
Usamos a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
Calculamos cada termo:
Portanto
Raiz do discriminante:
Agora aplicamos a fórmula
O denominador é
Calculamos as duas raízes:
Portanto os polos são reais e negativos:
e
.
Passo 7
Podemos também escrever o denominador fatorado (verificação):
confirmando os polos encontrados. Assim a forma fatorada da impedância é
Resposta
(a)
(b) Polos: e
. Zero:
.
(b) Polos: