(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de 5 k \Omega, um indutor de 6,25 H e um capacitor de 40 n F estão em paralelo.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.

Passo 1

O enunciado dá uma combinação em paralelo de três componentes com os seguintes valores:
R = 5\;k\Omega,\quad L = 6{,}25\;H,\quad C = 40\;nF.
As perguntas são:
(a) Expressar a impedância dessa combinação no domínio da frequência como uma função racional Z(s).
(b) Determinar numericamente os pólos e zeros de Z(s).

Passo 2

Primeiro, lembrar as impedâncias/admitâncias no domínio de Laplace (variável s):
\text{impedância do resistor: } Z_R = R,â
\text{impedância do indutor: } Z_L = sL,â
\text{impedância do capacitor: } Z_C = \frac{1}{sC}.â
Admitância é o inverso da impedância: Y=1/Z. Em paralelo as admitâncias somam, portanto a admitância total é
Y(s)=\frac{1}{R}+\frac{1}{sL}+sC.
A impedância total da associação em paralelo é então
Z(s)=\frac{1}{Y(s)}.
Isso é a ideia geral que vamos manipular simbolicamente para obter uma função racional.

Passo 3

Agora escrevemos Y(s) de forma a obter um denominador comum fácil de inverter. Começamos por pôr tudo sobre um mesmo denominador s:
Y(s)=\frac{1}{R}+\frac{1}{sL}+sC.
Multiplicando ambos os lados por s (para juntar termos) temos
sY(s)=s\cdot\frac{1}{R}+\frac{1}{L}+s^{2}C.
Logo
Y(s)=\frac{C s^{2}+\dfrac{1}{R}s+\dfrac{1}{L}}{s}.
Invertemos para obter Z(s)=1/Y(s):
Z(s)=\frac{s}{C s^{2}+\dfrac{1}{R}s+\dfrac{1}{L}}.
Pronto: essa é a forma racional simbólica da impedância (numerador linear em s, denominador quadrático em s).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos unidades para SI:
R=5\;k\Omega=5000\\ \Omega,\qquad C=40\;nF=40\cdot 10^{-9}\;F,\qquad L=6{,}25\;H.
Calculamos os coeficientes que aparecem no denominador:
\frac{1}{R}=\frac{1}{5000}=2\cdot 10^{-4},
\frac{1}{L}=\frac{1}{6{,}25}=0{,}16.
Substituindo em Z(s) obtemos
Z(s)=\frac{s}{\bigl(40\cdot 10^{-9}\bigr) s^{2}+\bigl(2\cdot 10^{-4}\bigr) s+0{,}16}.

Passo 5

Determinar os zeros: zeros de Z(s) são raízes do numerador. O numerador é s, portanto
\text{zero: } s=0,
com multiplicidade 1.

Passo 6

Determinar os polos: polos são raízes do denominador
40\cdot 10^{-9}\,s^{2}+\;2\cdot 10^{-4}\,s+\;0{,}16=0.
Usamos a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
\Delta=\left(2\cdot 10^{-4}\right)^{2}-4\cdot\bigl(40\cdot 10^{-9}\bigr)\cdot(0{,}16).
Calculamos cada termo:
\left(2\cdot 10^{-4}\right)^{2}=4\cdot 10^{-8},
4\cdot\bigl(40\cdot 10^{-9}\bigr)\cdot 0{,}16=4\cdot 40\cdot 0{,}16\cdot 10^{-9}=25{,}6\cdot 10^{-9}=2{,}56\cdot 10^{-8}.
Portanto
\Delta=4\cdot 10^{-8}-2{,}56\cdot 10^{-8}=1{,}44\cdot 10^{-8}.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{1{,}44\cdot 10^{-8}}=1{,}2\cdot 10^{-4}.
Agora aplicamos a fórmula
s=\frac{-\dfrac{1}{R}\pm\sqrt{\Delta}}{2C}=\frac{-(2\cdot 10^{-4})\pm(1{,}2\cdot 10^{-4})}{2\cdot(40\cdot 10^{-9})}.
O denominador é
2C=80\cdot 10^{-9}=8\cdot 10^{-8}.
Calculamos as duas raízes:
s_{1}=\frac{-2\cdot 10^{-4}+1{,}2\cdot 10^{-4}}{8\cdot 10^{-8}}=\frac{-0{,}8\cdot 10^{-4}}{8\cdot 10^{-8}}=-\;10^{3}=-1000,
s_{2}=\frac{-2\cdot 10^{-4}-1{,}2\cdot 10^{-4}}{8\cdot 10^{-8}}=\frac{-3{,}2\cdot 10^{-4}}{8\cdot 10^{-8}}=-\;4\cdot 10^{3}=-4000.
Portanto os polos são reais e negativos: s=-1000 e s=-4000.

Passo 7

Podemos também escrever o denominador fatorado (verificação):
40\cdot 10^{-9}\,(s+1000)(s+4000)=40\cdot 10^{-9}\,s^{2}+2\cdot 10^{-4}\,s+0{,}16,
confirmando os polos encontrados. Assim a forma fatorada da impedância é
Z(s)=\frac{s}{40\cdot 10^{-9}\,(s+1000)(s+4000)}.

Resposta

(a) Z(s)=\dfrac{s}{40\cdot 10^{-9}\,s^{2}+2\cdot 10^{-4}\,s+0{,}16}
(b) Polos: s=-1000 e s=-4000. Zero: s=0.

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