(Adaptado de NILSSON.) Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=\frac{20 s^{2}}{(s+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função F(s) e pede que a gente determine f(t). Informações fornecidas:
F(s)=\frac{20 s^{2}}{(s+1)^{3}}.
Pergunta: determinar a função f(t) cujo transformada (no domínio s) é F(s).
Nada mais é pedido além de encontrar f(t).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de F(s) escrevendo s em termos de s+1. Isso ajuda porque o denominador já está em potências de (s+1). Primeiro expandimos s^{2} usando s=(s+1)-1:
s^{2}=\bigl((s+1)-1\bigr)^{2}=(s+1)^{2}-2(s+1)+1.

Passo 3

Substituímos essa expressão em F(s):
F(s)=\frac{20\bigl((s+1)^{2}-2(s+1)+1\bigr)}{(s+1)^{3}}.
Agora dividimos termo a termo pelo denominador:
F(s)=20\left(\frac{(s+1)^{2}}{(s+1)^{3}}-\frac{2(s+1)}{(s+1)^{3}}+\frac{1}{(s+1)^{3}}\right).
Isto é
F(s)=20\left(\frac{1}{s+1}-\frac{2}{(s+1)^{2}}+\frac{1}{(s+1)^{3}}\right).

Passo 4

Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Vou lembrar e explicar a fórmula que vamos usar: para n inteiro não negativo e a real,
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\}=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Aqui t é a variável do tempo (onde queremos f(t)), n! é o fatorial de n, a é o parâmetro que desloca s para s+a. A transformada inversa correspondente é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{\,n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!}e^{-a t}.
Exemplos simples para fixar a ideia:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}e^{-t}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa a cada termo de F(s). Usando os exemplos acima:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}e^{-t}.
Como F(s)=20\left(\frac{1}{s+1}-\frac{2}{(s+1)^{2}}+\frac{1}{(s+1)^{3}}\right), a transformada inversa é a combinação linear dessas funções multiplicada por 20.

Passo 6

Construímos f(t) juntando os termos e simplificando:
f(t)=20\left(e^{-t}-2\,t e^{-t}+\frac{t^{2}}{2}e^{-t}\right).
Distribuindo 20 e simplificando o último termo:
f(t)=20 e^{-t}-40 t e^{-t}+10 t^{2}e^{-t}.
Factorizando 10 e^{-t} para deixar mais compacto:
f(t)=10 e^{-t}\bigl(t^{2}-4t+2\bigr).

Resposta

f(t)=10 e^{-t}\bigl(t^{2}-4t+2\bigr)

Exercícios relacionados