(Adaptado de NILSSON.) Determine
para cada uma das seguintes funções
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente determine
. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar a função
cujo transformada (no domínio
) é
.
Nada mais é pedido além de encontrar .
Nada mais é pedido além de encontrar
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
escrevendo
em termos de
. Isso ajuda porque o denominador já está em potências de
. Primeiro expandimos
usando
:
Passo 3
Substituímos essa expressão em
:
Agora dividimos termo a termo pelo denominador:
Isto é
Passo 4
Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Vou lembrar e explicar a fórmula que vamos usar: para
inteiro não negativo e
real,
Aqui
é a variável do tempo (onde queremos
),
é o fatorial de
,
é o parâmetro que desloca
para
. A transformada inversa correspondente é
Exemplos simples para fixar a ideia:
Passo 5
Aplicamos a transformada inversa a cada termo de
. Usando os exemplos acima:
Como
, a transformada inversa é a combinação linear dessas funções multiplicada por
.
Passo 6
Construímos
juntando os termos e simplificando:
Distribuindo
e simplificando o último termo:
Factorizando
para deixar mais compacto: