Um transmissor de telemetria é colocado na lua para transmitir dados para a Terra. A potência do transmissor é de 100 mW e o ganho da antena transmissora na direção da transmissão é de 12 dB . Determine o ganho mínimo da antena receptora para receber 1 nW . A distância da lua até a terra é de 384.400 km e a frequência do transmissor é de 100 MHz .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o ganho mínimo da antena receptora para que a potência recebida seja 1\\ \text{nW}.
Informações dadas:
  • Potência do transmissor: P_t = 100\\ \text{mW}.
  • Ganho da antena transmissora na direção da transmissão: G_t = 12\\ \text{dB}.
  • Potência desejada na recepção: P_r = 1\\ \text{nW}.
  • Distância entre Lua e Terra: R = 384{,}400\\ \text{km}.
  • Frequência do transmissor: f = 100\\ \text{MHz}.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): vamos usar a fórmula que descreve a potência recebida em espaço livre (equação de Friis). Essa fórmula relaciona a potência transmitida, os ganhos das antenas, a distância entre elas e o comprimento de onda. Ela é a escolha natural aqui porque a comunicação Terra–Lua é essencialmente propagação em espaço livre (sem obstáculos entre as antenas) e o enunciado fornece os dados necessários.
A equação de Friis (forma usada) é:
P_r = P_t \, G_t \, G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2
Explicando cada termo:
  • P_r: potência recebida (em watts).
  • P_t: potência transmitida (em watts).
  • G_t: ganho da antena transmissora (adimensional, na mesma escala linear que G_r).
  • G_r: ganho da antena receptora (adimensional) — é o que queremos achar.
  • \lambda: comprimento de onda da onda eletromagnética (em metros).
  • R: distância entre antenas (em metros).
    A fração \left(\dfrac{\lambda}{4\pi R}\right)^2 representa a perda de espaço livre (como a energia se espalha com a distância).

Passo 3

Conversões de unidades e cálculo do comprimento de onda (passo a passo):
  • Converter potência do transmissor para watts:
P_t = 100\\ \text{mW} = 0{,}100\\ \text{W}
  • Potência desejada em watts:
P_r = 1\\ \text{nW} = 1\times 10^{-9}\\ \text{W}
  • Converter distância para metros:
R = 384{,}400\\ \text{km} = 384{,}400\times 10^{3}\\ \text{m} = 3{,}844\times 10^{8}\\ \text{m}
  • Frequência:
f = 100\\ \text{MHz} = 100\times 10^{6}\\ \text{Hz} = 1\times 10^{8}\\ \text{Hz}
  • Comprimento de onda (usando c \approx 3{,}0\times 10^{8}\\ \text{m/s}):
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3{,}0\times 10^{8}}{1\times 10^{8}} = 3{,}0\\ \text{m}
  • Converter ganho transmissor de dB para linear:
    A conversão é G_{\text{linear}} = 10^{G_{\text{dB}}/10}. Então
G_t = 10^{12/10} = 10^{1{,}2} \approx 15{,}8489319

Passo 4

Isolar G_r na equação de Friis:
A partir de
P_r = P_t \, G_t \, G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2
isolamos G_r:
G_r = \frac{P_r}{P_t \, G_t} \left(\frac{4\pi R}{\lambda}\right)^2
Isso é só álgebra: multiplicamos ambos os lados por \left(\dfrac{4\pi R}{\lambda}\right)^2 e dividimos por P_t G_t.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos que entram em G_r.
  1. Primeiro o fator \dfrac{P_r}{P_t G_t}:
\frac{P_r}{P_t G_t} = \frac{1\times 10^{-9}}{0{,}100 \times 15{,}8489319} = \frac{1\times 10^{-9}}{1{,}58489319} \approx 6{,}30957344\times 10^{-10}
  1. Agora o fator \left(\dfrac{4\pi R}{\lambda}\right)^2.
    Calcule \dfrac{4\pi R}{\lambda} primeiro:
\frac{4\pi R}{\lambda} = \frac{4\pi \times 3{,}844\times 10^{8}}{3{,}0}
Vamos calcular numericamente:
4\pi \approx 12{,}5663706144
\frac{4\pi}{3} \approx 4{,}1887902048
\frac{4\pi R}{\lambda} \approx 4{,}1887902048 \times 3{,}844\times 10^{8} \approx 1{,}610170978\times 10^{9}
Agora elevando ao quadrado:
\left(\frac{4\pi R}{\lambda}\right)^2 \approx (1{,}610170978\times 10^{9})^2 \approx 2{,}592\times 10^{18}
(veja: 1{,}610^2 \approx 2{,}592, e o fator de escala 10^{9} ao quadrado dá 10^{18}).

Passo 6

Multiplicar os fatores para obter G_r:
G_r \approx 6{,}30957344\times 10^{-10} \times 2{,}592\times 10^{18}
G_r \approx 1{,}6354\times 10^{9}
Portanto, o ganho linear mínimo da antena receptora é aproximadamente \;1{,}635\times 10^{9}.
Agora, normalmente ganhos de antena também se expressam em decibéis isotrópicos (dBi). A conversão é
G_{\text{dBi}} = 10\log_{10}(G_{\text{linear}})
Calculando:
G_{\text{dBi}} \approx 10\log_{10}\bigl(1{,}6354\times 10^{9}\bigr) = 10\bigl(\log_{10}(1{,}6354) + 9\bigr) \approx 10(0{,}2139 + 9) \approx 92{,}14\\ \text{dBi}

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: esse ganho é enorme (da ordem de 10^{9} linear, cerca de 92{,}1\\ \text{dBi}). É normal que comunicações a distâncias tão grandes e com pouca potência transmitida exijam antenas receptoras com ganho muito alto (isso normalmente é conseguido com grandes antenas direcionais ou conjuntos de antenas/arrays). Vai dar certo estudar esse tipo de conta: o procedimento é sempre o mesmo — transformar unidades, achar \lambda, usar a equação de Friis e isolar o que se quer.

Resposta

G_r \approx 1{,}635\times 10^{9} (linear)
G_r \approx 92{,}14\\ \text{dBi}

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