Um transmissor de telemetria é colocado na lua para transmitir dados para a Terra. A potência do transmissor é de 100 mW e o ganho da antena transmissora na direção da transmissão é de 12 dB . Determine o ganho mínimo da antena receptora para receber 1 nW . A distância da lua até a terra é de 384.400 km e a frequência do transmissor é de 100 MHz .
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o ganho mínimo da antena receptora para que a potência recebida seja
.
Informações dadas:
- Potência do transmissor:
. - Ganho da antena transmissora na direção da transmissão:
. - Potência desejada na recepção:
. - Distância entre Lua e Terra:
. - Frequência do transmissor:
.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): vamos usar a fórmula que descreve a potência recebida em espaço livre (equação de Friis). Essa fórmula relaciona a potência transmitida, os ganhos das antenas, a distância entre elas e o comprimento de onda. Ela é a escolha natural aqui porque a comunicação Terra–Lua é essencialmente propagação em espaço livre (sem obstáculos entre as antenas) e o enunciado fornece os dados necessários.
A equação de Friis (forma usada) é:
Explicando cada termo:
-
: potência recebida (em watts). -
: potência transmitida (em watts). -
: ganho da antena transmissora (adimensional, na mesma escala linear que ). -
: ganho da antena receptora (adimensional) — é o que queremos achar. -
: comprimento de onda da onda eletromagnética (em metros). -
: distância entre antenas (em metros).
A fraçãorepresenta a perda de espaço livre (como a energia se espalha com a distância).
Passo 3
Conversões de unidades e cálculo do comprimento de onda (passo a passo):
- Converter potência do transmissor para watts:
- Potência desejada em watts:
- Converter distância para metros:
- Frequência:
- Comprimento de onda (usando
):
- Converter ganho transmissor de dB para linear:
A conversão é. Então
Passo 4
Isolar
na equação de Friis:
A partir de
A partir de
isolamos
:
Isso é só álgebra: multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
.
Passo 5
Calcular passo a passo os termos numéricos que entram em
.
- Primeiro o fator
:
- Agora o fator
.
Calculeprimeiro:
Vamos calcular numericamente:
Agora elevando ao quadrado:
(veja:
, e o fator de escala
ao quadrado dá
).
Passo 6
Multiplicar os fatores para obter
:
Portanto, o ganho linear mínimo da antena receptora é aproximadamente
.
Agora, normalmente ganhos de antena também se expressam em decibéis isotrópicos (dBi). A conversão é
Calculando:
Passo 7
Interpretação curta e incentivo: esse ganho é enorme (da ordem de
linear, cerca de
). É normal que comunicações a distâncias tão grandes e com pouca potência transmitida exijam antenas receptoras com ganho muito alto (isso normalmente é conseguido com grandes antenas direcionais ou conjuntos de antenas/arrays). Vai dar certo estudar esse tipo de conta: o procedimento é sempre o mesmo — transformar unidades, achar
, usar a equação de Friis e isolar o que se quer.