(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de
, um indutor de
e um capacitor de
estão em série.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
Passo 1
O enunciado dá uma associação em série de três elementos e pede duas coisas:
- (a) Expressar a impedância no domínio da frequência como uma função racional;
- (b) Determinar numericamente os pólos e zeros dessa impedância.
Dados fornecidos (vou repetir em notação matemática para ficar claro):
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as impedâncias no domínio de Laplace (ou frequência complexa
):
- Resistência:
. Isso porque um resistor tem resposta independente de . - Indutor:
. Aqui é a variável complexa ( ); a impedância do indutor cresce proporcionalmente a . - Capacitor:
. O capacitor tem impedância inversamente proporcional a .
Essas fórmulas são a base para montar a impedância de circuitos em série e paralelo.
Passo 3
Como os três elementos estão em série, as impedâncias somam. Portanto
Queremos escrever
como uma função racional (fração polinomial em
). Para isso colocamos tudo sobre um mesmo denominador
:
É mais conveniente factorizar
no numerador para obter uma forma limpa:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é frequentemente usada porque o denominador fica apenas
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos para dar a expressão final em números:
então a forma numérica é
Essa é a resposta para o item (a): uma função racional (polinômio de grau 2 sobre
).
Passo 5
Para achar polos e zeros, lembramos:
- Zeros de
são as raízes do polinômio do numerador. - Polos de
são as raízes do denominador.
Aqui o denominador é simplesmente
, logo há um pólo em
(pólo simples). Isso faz sentido fisicamente: em
(DC) o capacitor impede passagem de corrente (impedância tende a infinito) e a impedância total diverge.
Passo 6
Agora calculamos os zeros resolvendo a equação do numerador igual a zero:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
temos o discriminante
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Calculemos a raiz quadrada:
Aplicando a fórmula:
Dividindo:
Passo 7
Resumo físico rápido (para ajudar na prova): temos
- Um pólo em
(DC) — porque o capacitor bloqueia corrente em . - Dois zeros complexos conjugados em
. O sinal negativo na parte real indica amortecimento (modos decaem no tempo).
Resposta
(a)
(b) Zeros:
Polos:
(b) Zeros:
Polos: