(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de 10 k \Omega, um indutor de 5 H e um capacitor de 20 n F estão em série.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.

Passo 1

O enunciado dá uma associação em série de três elementos e pede duas coisas:
  • (a) Expressar a impedância no domínio da frequência como uma função racional;
  • (b) Determinar numericamente os pólos e zeros dessa impedância.
Dados fornecidos (vou repetir em notação matemática para ficar claro):
R=10\,000\\ \Omega,\qquad L=5\\ \mathrm{H},\qquad C=20\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as impedâncias no domínio de Laplace (ou frequência complexa s):
  • Resistência: \;Z_R(s)=R. Isso porque um resistor tem resposta independente de s.
  • Indutor: \;Z_L(s)=sL. Aqui s é a variável complexa ( s=\sigma+j\omega); a impedância do indutor cresce proporcionalmente a s.
  • Capacitor: \;Z_C(s)=\dfrac{1}{sC}. O capacitor tem impedância inversamente proporcional a s.
Essas fórmulas são a base para montar a impedância de circuitos em série e paralelo.

Passo 3

Como os três elementos estão em série, as impedâncias somam. Portanto
Z(s)=Z_R(s)+Z_L(s)+Z_C(s)=R + sL + \frac{1}{sC}.
Queremos escrever Z(s) como uma função racional (fração polinomial em s). Para isso colocamos tudo sobre um mesmo denominador sC:
Z(s)=R + sL + \frac{1}{sC}=\frac{R s C + s^2 L C + 1}{sC}.
É mais conveniente factorizar 1/C no numerador para obter uma forma limpa:
Z(s)=\frac{L s^2 + R s + \dfrac{1}{C}}{s}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é frequentemente usada porque o denominador fica apenas s.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos para dar a expressão final em números:
\frac{1}{C}=\frac{1}{20\times10^{-9}}=5\times10^{7},
então a forma numérica é
Z(s)=\frac{5\,s^{2} + 10000\,s + 5\times10^{7}}{s}.
Essa é a resposta para o item (a): uma função racional (polinômio de grau 2 sobre s).

Passo 5

Para achar polos e zeros, lembramos:
  • Zeros de Z(s) são as raízes do polinômio do numerador.
  • Polos de Z(s) são as raízes do denominador.
Aqui o denominador é simplesmente s, logo há um pólo em s=0 (pólo simples). Isso faz sentido fisicamente: em s=0 (DC) o capacitor impede passagem de corrente (impedância tende a infinito) e a impedância total diverge.

Passo 6

Agora calculamos os zeros resolvendo a equação do numerador igual a zero:
5\,s^{2}+10000\,s+5\times10^{7}=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a=5,\; b=10000,\; c=5\times10^{7} temos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = (10000)^{2}-4\cdot5\cdot5\times10^{7}=10^{8}-10^{9}=-9\times10^{8}.
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Calculemos a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-9\times10^{8}}=j\sqrt{9\times10^{8}}=j\cdot3\times10^{4}.
Aplicando a fórmula:
s=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-10000\pm j\,30000}{2\cdot5}=\frac{-10000\pm j\,30000}{10}.
Dividindo:
s=-1000\pm j\,3000\quad(\text{rad/s}).

Passo 7

Resumo físico rápido (para ajudar na prova): temos
  • Um pólo em s=0 (DC) — porque o capacitor bloqueia corrente em s=0.
  • Dois zeros complexos conjugados em s=-1000\pm j\,3000. O sinal negativo na parte real indica amortecimento (modos decaem no tempo).

Resposta

(a) \displaystyle Z(s)=\frac{5\,s^{2}+10000\,s+5\times10^{7}}{s}.
(b) Zeros: \displaystyle s=-1000\pm j\,3000.
Polos: \displaystyle s=0.

Exercícios relacionados