(Adaptado de NILSSON.) Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=\frac{10 s^{2}+85 s+95}{s^{2}+6 s+5}

Passo 1

O enunciado dá a função de Laplace
F(s)=\dfrac{10 s^{2}+85 s+95}{s^{2}+6 s+5}
e pede para determinar a função no tempo f(t) tal que F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  1. O numerador tem grau igual ao denominador (ambos grau 2).\n
  2. O denominador pode ser fatorado (é um polinômio quadrático).\n
  3. Precisaremos usar propriedades básicas da transformada inversa de Laplace termo a termo.\n

Passo 2

Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, fazemos divisão polinomial (ou separemos a parte polinomial) para escrever F(s) como uma soma de uma constante (polinômio) e uma fração própria. Calcule:
10\,(s^{2}+6s+5)=10s^{2}+60s+50.
Subtraindo isso do numerador original obtemos o resto:
(10s^{2}+85s+95)-(10s^{2}+60s+50)=25s+45.
Portanto
F(s)=10+\dfrac{25s+45}{s^{2}+6s+5}.

Passo 3

Factorizamos o denominador s^{2}+6s+5. Buscamos raízes que multiplicam para 5 e somam para 6: são 1 e 5. Logo,
s^{2}+6s+5=(s+1)(s+5).

Passo 4

Escrevemos a parte própria como soma de frações simples:
\dfrac{25s+45}{(s+1)(s+5)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+5}.
Multiplicando por (s+1)(s+5) obtemos a identidade
25s+45=A(s+5)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
25s+45=(A+B)s+(5A+B).

Passo 5

Comparando coeficientes no polinômio em s\) obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=25,\\[4pt] 5A+B=45. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(5A+B)-(A+B)=45-25 \;\Rightarrow\;4A=20 \;\Rightarrow\; A=5.
Então (B=25-A=25-5=20].
Portanto
\frac{25s+45}{(s+1)(s+5)}=\frac{5}{s+1}+\frac{20}{s+5}.]

Passo 6

Reescrevendo F(s) com as parcelas encontradas:
F(s)=10+\frac{5}{s+1}+\frac{20}{s+5}.
Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Lembretes importantes e fórmulas que vamos usar (vou justificar brevemente cada uma):
  1. A transformada de Laplace do impulso de Dirac é \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1. Logo uma constante em s-domínio corresponde a um impulso no tempo: \mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t). Assim \mathcal{L}^{-1}\{10\}=10\delta(t).\n
  2. Para a> -\mathrm{Re}(s), a transformada de Laplace de e^{-a t}u(t) é
\mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a}.
Portanto \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}u(t).
Usaremos isso para as frações \dfrac{5}{s+1} e \dfrac{20}{s+5}.

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas termo a termo:
  1. \mathcal{L}^{-1}\{10\}=10\,\delta(t).\n
  2. \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{5}{s+1}\right\}=5\,e^{-1\cdot t}u(t)=5e^{-t}u(t).\n
  3. \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{20}{s+5}\right\}=20\,e^{-5 t}u(t).\n
    Somando as três contribuições obtemos a função no tempo:
f(t)=10\delta(t)+5e^{-t}u(t)+20e^{-5t}u(t).

Resposta

f(t)=10\delta(t)+5e^{-t}u(t)+20e^{-5t}u(t)

Exercícios relacionados