(Adaptado de NILSSON.) Determine
para cada uma das seguintes funções
Passo 1
O enunciado dá a função de Laplace
e pede para determinar a função no tempo tal que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e pede para determinar a função no tempo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador tem grau igual ao denominador (ambos grau
).\n - O denominador pode ser fatorado (é um polinômio quadrático).\n
- Precisaremos usar propriedades básicas da transformada inversa de Laplace termo a termo.\n
Passo 2
Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau, fazemos divisão polinomial (ou separemos a parte polinomial) para escrever
como uma soma de uma constante (polinômio) e uma fração própria. Calcule:
Subtraindo isso do numerador original obtemos o resto:
Portanto
Passo 3
Factorizamos o denominador
. Buscamos raízes que multiplicam para
e somam para
: são
e
. Logo,
Passo 4
Escrevemos a parte própria como soma de frações simples:
Multiplicando por
obtemos a identidade
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Comparando coeficientes no polinômio em
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então (B=25-A=25-5=20].
Portanto
]
Portanto
Passo 6
Reescrevendo
com as parcelas encontradas:
Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Lembretes importantes e fórmulas que vamos usar (vou justificar brevemente cada uma):
- A transformada de Laplace do impulso de Dirac é
. Logo uma constante em -domínio corresponde a um impulso no tempo: . Assim .\n - Para
, a transformada de Laplace de é
Portanto
.
Usaremos isso para as frações e
.
Usaremos isso para as frações
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas termo a termo:
-
.\n -
\n -
\n
Somando as três contribuições obtemos a função no tempo: