(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de
está em série com um indutor de
e esta combinação está em paralelo com um capacitor de
.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.
Passo 1
O enunciado dá um circuito com um resistor, um indutor e um capacitor. Perguntas:
- (a) Expressar a impedância da combinação no domínio da frequência como uma função racional.
- (b) Determinar numericamentes os pólos e zeros dessa impedância.
Informações numéricas (retiradas do enunciado):
Passo 2
Vou trabalhar no domínio de
(frequência complexa, com
se quiser o eixo imaginário). Lembrete rápido (fórmulas fundamentais de impedância no domínio
):
- Impedância de um resistor:
- Impedância de um indutor:
Aqui tem dimensão de . - Impedância de um capacitor:
Essas fórmulas vêm da transformada de Laplace das relações tensão-corrente do indutor/capacitor; não precisa decorar mais do que isso para resolver a questão.
Passo 3
Identifico as duas impedâncias que ficam em paralelo:
- Impedância série do resistor com o indutor:
- Impedância do capacitor:
A impedância equivalente de duas impedâncias em paralelo
e
é
Vou aplicar isso a
em paralelo com
.
Passo 4
Substituindo:
Para simplificar, coloque tudo sobre um denominador comum no denominador da fração:
Então
Agora expando o denominador para ver que é uma função racional polinomial em
. Multiplicando
, obtemos
Esse é o resultado simbólico pedido em (a): uma razão de polinômios em
.
Passo 5
Explico como encontrar pólos e zeros:
- Zeros da impedância: valores de
que anulam o numerador (desde que não anulem também o denominador simultaneamente). - Pólos da impedância: valores de
que anulam o denominador (raízes do denominador).
Aqui o numerador é linear e o denominador é quadrático, logo esperamos um zero e dois pólos (possivelmente complexos ou reais).
Passo 6
Zerando o numerador:
Substituindo os valores numéricos:
Portanto o zero é em
(um zero real negativo).
Passo 7
Agora os pólos: escrevo a equação do denominador igual a zero:
Colocando na forma padrão de uma quadrática em
:
Dividindo por
(para ficar com coeficiente principal
):
Aqui os coeficientes são
Passo 8
Aplico a fórmula quadrática:
Interpretação física curta:
dá a taxa de amortecimento e
é a frequência natural (em rad/s) do circuito RLC.
Passo 9
Substituo os valores numéricos para calcular o discriminante e as raízes:
O discriminante é
A raiz quadrada do discriminante é
Passo 10
Agora as duas raízes (pólos) são
Se quiser mais dígitos (valores calculados com mais precisão):
Observação: ambos os pólos são reais e negativos (circuito subamortecido/aperiódico neste caso), e um dos pólos está bem próximo do zero em
.
Resposta
(a)
(b) Zero:
Pólos: e
.
Pólos: