(Adaptado de NILSSON.) Um resistor de 1 k \Omega está em série com um indutor de 1 m H e esta combinação está em paralelo com um capacitor de 0,4 \mu F.
(a) Expresse a impedância desta combinação no domínio da frequência como uma função racional.
(b) Determine os valores numéricos dos pólos e zeros da impedância encontrada.

Passo 1

O enunciado dá um circuito com um resistor, um indutor e um capacitor. Perguntas:
  • (a) Expressar a impedância da combinação no domínio da frequência como uma função racional.
  • (b) Determinar numericamentes os pólos e zeros dessa impedância.
Informações numéricas (retiradas do enunciado):
R=1\\ \text{k}\Omega=1{,}0\times10^{3}\\ \Omega,
L=1\\ \text{mH}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
C=0{,}4\\ \mu\text{F}=0{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=4{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.

Passo 2

Vou trabalhar no domínio de s (frequência complexa, com s=j\omega se quiser o eixo imaginário). Lembrete rápido (fórmulas fundamentais de impedância no domínio s):
  • Impedância de um resistor: \;Z_R=R.
  • Impedância de um indutor: \;Z_L=sL. Aqui s tem dimensão de \mathrm{s}^{-1}.
  • Impedância de um capacitor: \;Z_C=\dfrac{1}{sC}.
Essas fórmulas vêm da transformada de Laplace das relações tensão-corrente do indutor/capacitor; não precisa decorar mais do que isso para resolver a questão.

Passo 3

Identifico as duas impedâncias que ficam em paralelo:
  • Impedância série do resistor com o indutor:
Z_{RL}=R+sL.
  • Impedância do capacitor:
Z_C=\dfrac{1}{sC}.
A impedância equivalente de duas impedâncias em paralelo Z_a e Z_b é
Z_{eq}=\dfrac{Z_a Z_b}{Z_a+Z_b}.
Vou aplicar isso a Z_{RL} em paralelo com Z_C.

Passo 4

Substituindo:
Z(s)=\dfrac{(R+sL)\cdot\dfrac{1}{sC}}{(R+sL)+\dfrac{1}{sC}}.
Para simplificar, coloque tudo sobre um denominador comum no denominador da fração:
(R+sL)+\dfrac{1}{sC}=\dfrac{sC(R+sL)+1}{sC}.
Então
Z(s)=\dfrac{(R+sL)\dfrac{1}{sC}}{\dfrac{sC(R+sL)+1}{sC}} =\dfrac{R+sL}{sC(R+sL)+1}.
Agora expando o denominador para ver que é uma função racional polinomial em s. Multiplicando sC(R+sL)=sCR + s^2 C L, obtemos
Z(s)=\dfrac{R+sL}{1 + R C\, s + L C\, s^{2}}.
Esse é o resultado simbólico pedido em (a): uma razão de polinômios em s.

Passo 5

Explico como encontrar pólos e zeros:
  • Zeros da impedância: valores de s que anulam o numerador (desde que não anulem também o denominador simultaneamente).
  • Pólos da impedância: valores de s que anulam o denominador (raízes do denominador).
Aqui o numerador é linear e o denominador é quadrático, logo esperamos um zero e dois pólos (possivelmente complexos ou reais).

Passo 6

Zerando o numerador:
R + sL = 0 \quad\Longrightarrow\quad s = -\dfrac{R}{L}.
Substituindo os valores numéricos:
s_{\text{zero}}=-\dfrac{1{,}0\times10^{3}}{1{,}0\times10^{-3}}=-1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Portanto o zero é em s=-1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1} (um zero real negativo).

Passo 7

Agora os pólos: escrevo a equação do denominador igual a zero:
1 + R C\, s + L C\, s^{2}=0.
Colocando na forma padrão de uma quadrática em s:
L C\, s^{2} + R C\, s + 1 = 0.
Dividindo por L C (para ficar com coeficiente principal 1):
s^{2} + \frac{R}{L}\, s + \frac{1}{L C}=0.
Aqui os coeficientes são
a=1,\qquad b=\frac{R}{L},\qquad c=\frac{1}{LC}.

Passo 8

Aplico a fórmula quadrática:
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-\dfrac{R}{L}\pm\sqrt{\left(\dfrac{R}{L}\right)^{2}-\dfrac{4}{LC}}}{2}.
Interpretação física curta: \dfrac{R}{2L} dá a taxa de amortecimento e \dfrac{1}{\sqrt{LC}} é a frequência natural (em rad/s) do circuito RLC.

Passo 9

Substituo os valores numéricos para calcular o discriminante e as raízes:
\frac{R}{L}=\dfrac{1{,}0\times10^{3}}{1{,}0\times10^{-3}}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1},
\frac{1}{LC}=\dfrac{1}{(1{,}0\times10^{-3})(4{,}0\times10^{-7})}=\dfrac{1}{4{,}0\times10^{-10}}=2{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{s}^{-2}.
O discriminante é
\Delta=\left(\frac{R}{L}\right)^{2}-\frac{4}{LC} =(1{,}0\times10^{6})^{2}-4(2{,}5\times10^{9}) =1{,}0\times10^{12}-1{,}0\times10^{10}=9{,}9\times10^{11}.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}\approx9{,}95037\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 10

Agora as duas raízes (pólos) são
s_{1}=\frac{-1{,}0\times10^{6} + 9{,}95037\times10^{5}}{2} \approx -2{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1},
s_{2}=\frac{-1{,}0\times10^{6} - 9{,}95037\times10^{5}}{2} \approx -9{,}98\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Se quiser mais dígitos (valores calculados com mais precisão):
s_{1}\approx -2{,}4814\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1},\qquad s_{2}\approx -9{,}9752\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Observação: ambos os pólos são reais e negativos (circuito subamortecido/aperiódico neste caso), e um dos pólos está bem próximo do zero em s=-1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Resposta

(a) Z(s)=\dfrac{L s + R}{1 + R C\, s + L C\, s^{2}}
(b) Zero: s=-1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Pólos: s\approx -2{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1} e s\approx -9{,}98\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}.

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