Exercício 2. O deslocamento (em cm) de uma partícula movendo-se para frente e para trás ao longo de uma reta é dado pela equação de movimento s=2 \operatorname{sen}(\pi t)+3 \cos (\pi t), em que t é medido em segundos.
a) Com o auxílio de um computador, determine a velocidade média em cada um dos seguintes intervalos de tempo:
i) [1,2]
ii) [1,1.1]
iii) [1,1.01]
iv) [1,1.001]
b) Estime a velocidade instantânea da partícula quando t=1.

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento (em centímetros) de uma partícula:
s(t)=2\sin(\pi t)+3\cos(\pi t),
com t em segundos. Pede:
\newline
a) calcular a velocidade média da partícula em cada um dos intervalos:
\newline
i) [1,2]
\newline
ii) [1,1{,}1]
\newline
iii) [1,1{,}01]
\newline
iv) [1,1{,}001]
\newline
b) estimar a velocidade instantânea quando t=1.
\newline
Informações relevantes: a função s(t) está dada explicitamente; as unidades são centímetros para s e segundos para t.

Passo 2

Definição útil (velocidade média): a velocidade média em um intervalo [a,b] é
\bar v=\frac{s(b)-s(a)}{b-a},
ou, se escrevemos b=a+h,
\bar v=\frac{s(a+h)-s(a)}{h}.
Aqui vamos aplicar isso com a=1 e h=1,\;0{,}1,\;0{,}01,\;0{,}001. Isso nos dá uma fórmula geral para os intervalos pedidos:
\bar v(h)=\frac{s(1+h)-s(1)}{h}.

Passo 3

Calculo de s(1) (valor do deslocamento no instante t=1):
s(1)=2\sin(\pi\cdot1)+3\cos(\pi\cdot1)=2\sin(\pi)+3\cos(\pi).
Sabemos que \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1, logo
s(1)=2\cdot0+3\cdot(-1)=-3\\ \text{cm}.

Passo 4

Vamos simplificar s(1+h) usando identidades trigonométricas. Tem-se
s(1+h)=2\sin(\pi(1+h))+3\cos(\pi(1+h))=2\sin(\pi+\pi h)+3\cos(\pi+\pi h).
Usando \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta e \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta, obtemos
s(1+h)=-2\sin(\pi h)-3\cos(\pi h).
Esse passo é útil porque transforma a avaliação em torno de t=1 em função de \pi h, que é pequeno quando h é pequeno.

Passo 5

Substituindo s(1+h) e s(1) em \bar v(h) obtemos:
\bar v(h)=\frac{-2\sin(\pi h)-3\cos(\pi h)-(-3)}{h}=\frac{-2\sin(\pi h)+3(1-\cos(\pi h))}{h}.
Essa é a fórmula que usaremos para calcular as velocidades médias nos intervalos pedidos. Observe que tudo depende de \sin(\pi h) e \cos(\pi h) avaliados em \pi h.

Passo 6

Cálculo para o caso (i) [1,2]. Aqui h=1. Use os valores exatos \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1:
\bar v(1)=\frac{-2\sin(\pi)+3(1-\cos(\pi))}{1}=\frac{-2\cdot0+3(1-(-1))}{1}=3\cdot2=6.
Portanto a velocidade média em [1,2] é 6\\ \text{cm/s}.

Passo 7

Cálculo para o caso (ii) [1,1{,}1]. Aqui h=0{,}1. Primeiro avalio \sin(\pi\cdot0{,}1) e \cos(\pi\cdot0{,}1). Com o auxílio de um computador (ou tabela/calculadora):
\sin(\pi\cdot0{,}1)\approx0{,}3090169887,\qquad \cos(\pi\cdot0{,}1)\approx0{,}9510565163.
Agora uso a fórmula
\bar v(0{,}1)=\frac{-2\cdot0{,}3090169887+3(1-0{,}9510565163)}{0{,}1}.
Faço as contas passo a passo:
-2\sin(\pi\cdot0{,}1)\approx-0{,}6180339774,
1-\cos(\pi\cdot0{,}1)\approx0{,}0489434837,\quad 3(1-\cos(\cdot))\approx0{,}1468304511,
\text{soma}\approx-0{,}6180339774+0{,}1468304511=-0{,}4712035263,
\bar v(0{,}1)\approx\frac{-0{,}4712035263}{0{,}1}=-4{,}712035263.
Portanto a velocidade média em [1,1{,}1] é aproximadamente -4{,}712035263\\ \text{cm/s}.

Passo 8

Cálculo para o caso (iii) [1,1{,}01]. Aqui h=0{,}01. Avaliando com auxílio numérico:
\pi\cdot0{,}01\approx0{,}0314159265,
\sin(\pi\cdot0{,}01)\approx0{,}0314107621,\qquad \cos(\pi\cdot0{,}01)\approx0{,}9995065604.
Aplicando a fórmula:
-2\sin(\pi h)\approx-0{,}0628215242,
1-\cos(\pi h)\approx0{,}0004934396,\quad 3(1-\cos(\cdot))\approx0{,}0014803189,
\text{soma}\approx-0{,}0628215242+0{,}0014803189=-0{,}0613412053,
\bar v(0{,}01)\approx\frac{-0{,}0613412053}{0{,}01}=-6{,}13412053.
Portanto a velocidade média em [1,1{,}01] é aproximadamente -6{,}13412053\\ \text{cm/s}.

Passo 9

Cálculo para o caso (iv) [1,1{,}001]. Aqui h=0{,}001. Avaliação numérica:
\pi\cdot0{,}001\approx0{,}00314159265,
\sin(\pi\cdot0{,}001)\approx0{,}0031415875,\qquad \cos(\pi\cdot0{,}001)\approx0{,}9999950653.
Usando a fórmula:
-2\sin(\pi h)\approx-0{,}0062831749,
1-\cos(\pi h)\approx0{,}0000049347,\quad 3(1-\cos(\cdot))\approx0{,}0000148041,
\text{soma}\approx-0{,}0062831749+0{,}0000148041=-0{,}0062683708,
\bar v(0{,}001)\approx\frac{-0{,}0062683708}{0{,}001}=-6{,}2683708.
Portanto a velocidade média em [1,1{,}001] é aproximadamente -6{,}2683708\\ \text{cm/s}.

Passo 10

Agora a velocidade instantânea em t=1 é o limite das velocidades médias quando o intervalo encolhe, isto é
v(1)=\lim_{h\to0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h},
que é a derivada s'(1). Vou calcular s'(t) por diferenciação direta. Relembrando regras: a derivada de \sin(u(t)) é \cos(u(t))\cdot u'(t) (regra da cadeia) e a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aqui u(t)=\pi t e u'(t)=\pi. Assim
s'(t)=2\cdot(\pi\cos(\pi t)) + 3\cdot(-\pi\sin(\pi t))=2\pi\cos(\pi t)-3\pi\sin(\pi t).
Fatorando \pi:
s'(t)=\pi\big(2\cos(\pi t)-3\sin(\pi t)\big).

Passo 11

Avaliação em t=1: como \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0,
s'(1)=\pi\big(2\cos(\pi)-3\sin(\pi)\big)=\pi(2\cdot(-1)-3\cdot0)=-2\pi.
Numericamente,
-2\pi\approx-6{,}283185307.
Isso é coerente com as velocidades médias que encontramos quando h fica pequeno (por exemplo -6{,}2683708 para h=0{,}001), mostrando aproximação para o limite.

Passo 12

Resumo intuitivo rápido: as velocidades médias em intervalos cada vez menores ao redor de t=1 aproximam cada vez melhor a derivada s'(1)=-2\pi, que é a velocidade instantânea. Força aí — deu pra ver a tendência numérica aproximando o valor exato.

Resposta

(i) \;6\\ \text{cm/s}
(ii) -4{,}712035263\\ \text{cm/s}
(iii) -6{,}13412053\\ \text{cm/s}
(iv) -6{,}2683708\\ \text{cm/s}
(b) -2\pi\\ \text{cm/s}\approx-6{,}283185307\\ \text{cm/s}

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