Exercício 2. O deslocamento (em cm) de uma partícula movendo-se para frente e para trás ao longo de uma reta é dado pela equação de movimento
, em que
é medido em segundos.
a) Com o auxílio de um computador, determine a velocidade média em cada um dos seguintes intervalos de tempo:
i)
ii) [1,1.1]
iii) [1,1.01]
iv) [1,1.001]
b) Estime a velocidade instantânea da partícula quando
.
a) Com o auxílio de um computador, determine a velocidade média em cada um dos seguintes intervalos de tempo:
i)
ii) [1,1.1]
iii) [1,1.01]
iv) [1,1.001]
b) Estime a velocidade instantânea da partícula quando
Passo 1
O enunciado dá a lei do deslocamento (em centímetros) de uma partícula:
com
em segundos. Pede:
\newline
a) calcular a velocidade média da partícula em cada um dos intervalos:
\newline
i)
\newline
ii)
\newline
iii)
\newline
iv)
\newline
b) estimar a velocidade instantânea quando .
\newline
Informações relevantes: a função está dada explicitamente; as unidades são centímetros para
e segundos para
.
\newline
a) calcular a velocidade média da partícula em cada um dos intervalos:
\newline
i)
\newline
ii)
\newline
iii)
\newline
iv)
\newline
b) estimar a velocidade instantânea quando
\newline
Informações relevantes: a função
Passo 2
Definição útil (velocidade média): a velocidade média em um intervalo
é
ou, se escrevemos
,
Aqui vamos aplicar isso com
e
. Isso nos dá uma fórmula geral para os intervalos pedidos:
Passo 3
Calculo de
(valor do deslocamento no instante
):
Sabemos que
e
, logo
Passo 4
Vamos simplificar
usando identidades trigonométricas. Tem-se
Usando
e
, obtemos
Esse passo é útil porque transforma a avaliação em torno de
em função de
, que é pequeno quando
é pequeno.
Passo 5
Substituindo
e
em
obtemos:
Essa é a fórmula que usaremos para calcular as velocidades médias nos intervalos pedidos. Observe que tudo depende de
e
avaliados em
.
Passo 6
Cálculo para o caso (i)
. Aqui
. Use os valores exatos
e
:
Portanto a velocidade média em
é
.
Passo 7
Cálculo para o caso (ii)
. Aqui
. Primeiro avalio
e
. Com o auxílio de um computador (ou tabela/calculadora):
Agora uso a fórmula
Faço as contas passo a passo:
Portanto a velocidade média em
é aproximadamente
.
Passo 8
Cálculo para o caso (iii)
. Aqui
. Avaliando com auxílio numérico:
Aplicando a fórmula:
Portanto a velocidade média em
é aproximadamente
.
Passo 9
Cálculo para o caso (iv)
. Aqui
. Avaliação numérica:
Usando a fórmula:
Portanto a velocidade média em
é aproximadamente
.
Passo 10
Agora a velocidade instantânea em
é o limite das velocidades médias quando o intervalo encolhe, isto é
que é a derivada
. Vou calcular
por diferenciação direta. Relembrando regras: a derivada de
é
(regra da cadeia) e a derivada de
é
. Aqui
e
. Assim
Fatorando
:
Passo 11
Avaliação em
: como
e
,
Numericamente,
Isso é coerente com as velocidades médias que encontramos quando
fica pequeno (por exemplo
para
), mostrando aproximação para o limite.
Passo 12
Resumo intuitivo rápido: as velocidades médias em intervalos cada vez menores ao redor de
aproximam cada vez melhor a derivada
, que é a velocidade instantânea. Força aí — deu pra ver a tendência numérica aproximando o valor exato.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(b)
(ii)
(iii)
(iv)
(b)