Derive as seguintes funções:
f(x)=x \cos x

Passo 1

O que o enunciado pede: derivar a função \,f(x)=x\cos x\,.
Informações dadas: a função é produto de duas funções elementares, x e \cos x. Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Entendimento das ferramentas que vamos usar (aula rápida e levinha). Quando temos uma função que é produto de duas funções, u(x) e v(x), usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\text{se }F(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }F'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Explicando: u'(x) é a derivada de u em relação a x (ou seja, a taxa de variação de u); v'(x) é a derivada de v. A regra combina a variação de cada fator mantendo o outro como está, e somando os dois efeitos. É uma fórmula bem útil — memoriza assim: “deriva o primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes deriva o segundo”.

Passo 3

Precisamos também saber as derivadas básicas que aparecem aqui:
  • A derivada da função identidade \,u(x)=x\, é
u'(x)=1.
Explicação curta: a inclinação da reta y=x é 1, sempre.
  • A derivada da função cosseno \,v(x)=\cos x\, é
v'(x)=-\sin x.
Explicando: ao derivar \cos x obtemos -\sin x; o sinal negativo é importante.

Passo 4

Agora identifique os fatores no nosso caso: escolha
u(x)=x,\qquad v(x)=\cos x.
Então, segundo o passo anterior,
u'(x)=1,\qquad v'(x)=-\sin x.

Passo 5

Aplique a regra do produto substituindo u, u', v e v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x).

Passo 6

Simplifique a expressão:
f'(x)=\cos x - x\sin x.
Pronto — essa é a derivada. Uma forma de lembrar é ver que a derivada de x\cos x traz um termo \cos x (quando derivamos o x) e um termo -x\sin x (quando derivamos o \cos x).

Passo 7

Exemplo rápido para firmar: calcule f'(0). Usando a fórmula:
f'(0)=\cos 0 - 0\cdot\sin 0 = 1 - 0 = 1.
Isso confirma que a derivada em x=0 vale 1. Dica de prova: em prova, se perder tempo, escreva rapidamente a regra do produto e os dois derivados básicos ( 1 e -\sin x) e faça a substituição — é direto.

Resposta

\cos x - x\sin x

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