Derive as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: derivar a função
.
Informações dadas: a função é produto de duas funções elementares, e
. Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Informações dadas: a função é produto de duas funções elementares,
Passo 2
Entendimento das ferramentas que vamos usar (aula rápida e levinha). Quando temos uma função que é produto de duas funções,
e
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
Explicando:
é a derivada de
em relação a
(ou seja, a taxa de variação de
);
é a derivada de
. A regra combina a variação de cada fator mantendo o outro como está, e somando os dois efeitos. É uma fórmula bem útil — memoriza assim: “deriva o primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes deriva o segundo”.
Passo 3
Precisamos também saber as derivadas básicas que aparecem aqui:
- A derivada da função identidade
é
Explicação curta: a inclinação da reta
é
, sempre.
- A derivada da função cosseno
é
Explicando: ao derivar
obtemos
; o sinal negativo é importante.
Passo 4
Agora identifique os fatores no nosso caso: escolha
Então, segundo o passo anterior,
Passo 5
Aplique a regra do produto substituindo
,
,
e
:
Substituindo:
Passo 6
Simplifique a expressão:
Pronto — essa é a derivada. Uma forma de lembrar é ver que a derivada de
traz um termo
(quando derivamos o
) e um termo
(quando derivamos o
).
Passo 7
Exemplo rápido para firmar: calcule
. Usando a fórmula:
Isso confirma que a derivada em
vale
. Dica de prova: em prova, se perder tempo, escreva rapidamente a regra do produto e os dois derivados básicos (
e
) e faça a substituição — é direto.