A administração de um fundo de investimento em ações pretende divulgar, após o encerramento do pregão, a probabilidade de queda de um índice da bolsa no dia seguinte, baseando-se nas informações disponíveis até aquele momento. Suponha que a previsão inicial seja de 0,10 . Após encerrado o pregão, nova informação sugere uma alta do dólar frente ao real. A experiência passada indica que, quando houve queda da bolsa no dia seguinte, 20 \% das vezes foram precedidas por esse tipo de notícia, enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas em 5 \% das vezes houve esse tipo de notícia no dia anterior. Qual a probabilidade de que haja queda na bolsa com a nova informação?
Dados do problema para resolução: \mathrm{A}= queda de um índice da bolsa; \mathrm{A}^{\mathrm{c}}= alta de um índice da bolsa \mathrm{B}= alta do dólar \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} / \mathrm{A})=0,2 \quad \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,10 \quad \mathrm{P}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{c}}\right)=0,90 \quad \mathrm{P}\left(\mathrm{B} / \mathrm{A}^{\mathrm{c}}\right)=0,05
A nova informação sugere o encerramento da bolsa em alta. O que se quer determinar é \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{B}) R.: 0,3077
P(A / B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(B / A) \cdot P(A)}{P(B / A) \cdot P(A)+P\left(B / A^{C}\right) \cdot P\left(A^{C}\right)+}=\frac{0,2 \cdot 0,1}{0,2 \cdot 0,1+0,05 \cdot 0,9}=0,3077

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos a probabilidade de queda do índice no dia seguinte (evento A) dado que surgiu notícia de alta do dólar (evento B). Temos \;P(A)=0,10, \;P(A^c)=0,90, \;P(B\mid A)=0,20 e \;P(B\mid A^c)=0,05.
O conteúdo-chave é o Teorema de Bayes, que diz
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.

Passo 2

Para usar Bayes, precisamos de P(B), que obtemos pela Lei da Probabilidade Total:
P(B)=P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid A^c)\,P(A^c).
Substituindo os valores:
P(B)=0,20\cdot0,10+0,05\cdot0,90=0,02+0,045=0,065.

Passo 3

Aplicando Bayes:
P(A\mid B) =\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)} =\frac{0,20\cdot0,10}{0,065} =\frac{0,02}{0,065}\approx0,3077.

Resposta

P(A\mid B)\approx0,3077

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