Continuando do problema da contaminação do semicondutor (exercício 17). Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja 0,10 de que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20 \% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Pode-se perguntar o seguinte: se o chip semicondutor falhar no produto, qual será a probabilidade de que ele tenha sido exposto a altos níveis de contaminação? R.: 0,83
F = falha no produto
\mathrm{A}= sujeito altos níveis de contaminação
\mathrm{A}^{\mathrm{c}}= não sujeito a altos níveis de contaminação
[
\begin{gathered} P(F / A)=0,10 \\ P\left(F / A^{c}\right)=0,005 \\ P(A)=0,20 \\ P\left(A^{c}\right)=0,80 \\ P(F)=P(F \cap A) \cup P\left(F \cap A^{c}\right) \\ P(F \cap A)=P(F / A) \cdot P(A)=0,10 \cdot 0,20=0,02 \\ P\left(F \cap A^{c}\right)=P\left(F / A^{c}\right) \cdot P\left(A^{c}\right)=0,005 \cdot 0,80=0,004 \\ P(F)=0,02+0,004=0,024 \\ P(A / F)=? \\ P(A / F)=\frac{P(A \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F / A) \cdot P(A)}{P(A \cap F) \cup P\left(A^{c} \cap F\right)} \\ =\frac{0,10 \cdot 0,20}{0,024}=\frac{0,02}{0,024}=0,8333 \end{gathered}
]

Passo 1

Resumindo o enunciado, definimos os eventos: \mathrm{A} = chip exposto a altos níveis de contaminação \mathrm{A}^{c} = chip não exposto a altos níveis de contaminação \mathrm{F} = chip falha no produto
As probabilidades dadas são
P(\mathrm{F}\mid \mathrm{A}) = 0,10, \quad P(\mathrm{F}\mid \mathrm{A}^{c}) = 0,005, \quad P(\mathrm{A}) = 0,20, \quad P(\mathrm{A}^{c}) = 0,80.

Passo 2

Para achar P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A}) usamos a definição de probabilidade condicional:
P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A}) = P(\mathrm{F}\mid \mathrm{A}) \cdot P(\mathrm{A}) = 0,10 \times 0,20 = 0,02.

Passo 3

De modo semelhante,
P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A}^{c}) = P(\mathrm{F}\mid \mathrm{A}^{c}) \cdot P(\mathrm{A}^{c}) = 0,005 \times 0,80 = 0,004.

Passo 4

A probabilidade total de falha P(\mathrm{F}) vem da soma das interseções mutuamente exclusivas:
P(\mathrm{F}) = P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A}) + P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A}^{c}) = 0,02 + 0,004 = 0,024.

Passo 5

Aplicamos o Teorema de Bayes para obter
P(\mathrm{A}\mid \mathrm{F}) = \frac{P(\mathrm{F}\cap \mathrm{A})}{P(\mathrm{F})} = \frac{0,02}{0,024} \approx 0,8333.

Resposta

A probabilidade de que o chip tenha sido exposto a altos níveis de contaminação, dado que ele falhou, é aproximadamente 0,83.

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