A administração de um fundo de investimentos em ações pretende divulgar, após o encerramento do pregão, a probabilidade de queda de um índice da bolsa no dia seguinte, baseando-se nas informações disponíveis até aquele momento. Suponha que a revisão inicial seja de 0,10 . Após encerrado o pregão, nova informação sugere uma alta do dólar frente ao real. A experiência passada indica que, quando houve queda da bolsa no dia seguinte,
das vezes foram precedidas por esse tipo de notícia, enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas em
das vezes houve esse tipo de notícia no dia anterior. Qual a probabilidade de que haja queda na bolsa dado o aumento no dólar?
Passo 1
Então, o exercício diz assim: um fundo quer saber a probabilidade de a bolsa cair amanhã (evento C) usando Bayes, com a revisão inicial de P©=0,10. Depois do pregão saiu a notícia de alta do dólar (evento N), e a experiência mostra que:
- Se caiu ©, a notícia apareceu 20% das vezes: P(N|C)=0,20.
- Se subiu (Cᶜ), a notícia apareceu 5% das vezes: P(N|Cᶜ)=0,05.
Conteúdo: probabilidade condicional, Teorema de Bayes e Lei da Probabilidade Total. Vamos precisar desses conceitos pra achar P(C|N).
Passo 2
Definindo os eventos:
C = “queda da bolsa no dia seguinte”
Cᶜ = “alta da bolsa no dia seguinte”
N = “notícia de alta do dólar”
C = “queda da bolsa no dia seguinte”
Cᶜ = “alta da bolsa no dia seguinte”
N = “notícia de alta do dólar”
Os dados são:
P© = 0,10
P(Cᶜ) = 1 – P© = 0,90
P(N|C) = 0,20
P(N|Cᶜ) = 0,05
P© = 0,10
P(Cᶜ) = 1 – P© = 0,90
P(N|C) = 0,20
P(N|Cᶜ) = 0,05
Passo 3
Teoria envolvida:
- Lei da Probabilidade Total para P(N):
P(N) = P(N|C)·P© + P(N|Cᶜ)·P(Cᶜ) - Teorema de Bayes para inverter a condição:
P(C|N) = \frac{P(N|C),P©}{P(N)}
Passo 4
Calculando P(N) pela Lei da Probabilidade Total:
P(N) = 0,20·0,10 + 0,05·0,90
P(N) = 0,02 + 0,045 = 0,065
P(N) = 0,20·0,10 + 0,05·0,90
P(N) = 0,02 + 0,045 = 0,065
Passo 5
Agora aplico Bayes para achar P(C|N):
P(C|N) = \frac{P(N|C),P©}{P(N)}
P(C|N) = \frac{0,20·0,10}{0,065}
P(C|N) = \frac{0,02}{0,065} \approx 0,3077
P(C|N) = \frac{P(N|C),P©}{P(N)}
P(C|N) = \frac{0,20·0,10}{0,065}
P(C|N) = \frac{0,02}{0,065} \approx 0,3077
Resposta
A probabilidade de queda na bolsa dado o aumento do dólar é aproximadamente 0,3077 (ou 30,77%).