Admita que 10 mols de \mathrm{C} 2 \mathrm{H} 6(\mathrm{~g}) estejam confinados num vaso de 4,860 \mathrm{dm}^{3} a 27^{\circ} \mathrm{C}. Estime a pressão do etano com
com a equação de van der waals. (Para o etano \mathrm{Pc}=48,20 \mathrm{~atm}, \mathrm{Vc}_{\mathrm{c}}=148 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} e \mathrm{Tc}=305,4 \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado pede: estimar a pressão do etano usando a equação de van der Waals.
As informações dadas (peguei exatamente do enunciado) são:
  • \,n=10\\ \mathrm{mol}.
  • \,V=4{,}860\\ \mathrm{dm}^3 (lembre que 1\\ \mathrm{dm}^3=1\\ \mathrm{L}, então V=4{,}860\\ \mathrm{L}).
  • \,T=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constantes críticas do etano: \,P_c=48{,}20\\ \mathrm{atm}, \,V_{c}=148\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}, \,T_c=305{,}4\\ \mathrm{K}.
O que se pede: calcular P estimada para o gás real (etano) no recipiente, usando a equação de van der Waals.

Passo 2

Apresentando a equação de van der Waals e explicando cada termo (pequena aula):
\left(P+\frac{a n^2}{V^2}\right)\,(V-nb)=nRT.
Explicação:
  • P é a pressão total procurada (em \mathrm{atm} aqui).
  • V é o volume total do recipiente (em \mathrm{L} neste cálculo).
  • n é a quantidade de matéria (em \mathrm{mol}).
  • R é a constante universal dos gases; vou usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • a e b são constantes do van der Waals para a substância: a corrige as forças intermoleculares (reduz a pressão efetiva) e b corrige o volume disponível (volume excluído por moléculas).
Para usar a equação precisamos de a e b. Podemos obtê-los a partir das constantes críticas usando as relações (derivadas da equação de van der Waals):
V_c=3b,\qquad P_c=\frac{a}{27b^2},\qquad T_c=\frac{8a}{27Rb}.
Vou usar as primeiras duas igualdades para obter b e a de forma direta (método simples e comum).

Passo 3

Converter e calcular b:
  • Primeiro converto \,V_c para litros por mol: \,148\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}=0{,}148\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
  • Então
b=\frac{V_c}{3}=\frac{0{,}148}{3}=0{,}049333\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
(Guardei mais casas para precisão nas contas seguintes.)

Passo 4

Calcular a a partir de \,P_c e b:
a=27\,P_c\,b^2.
Substituindo os valores:
b^2=(0{,}049333)^2=0{,}0024337778\\ \mathrm{L^2\\ mol^{-2}},
a=27\cdot 48{,}20\cdot 0{,}0024337778 \approx 3{,}1673184\\ \mathrm{L^2\\ atm\\ mol^{-2}}.
(Observação curta: se em vez disso fosse usado T_c para calcular a daria um valor ligeiramente diferente — isso indica pequena inconsistência experimental entre P_c,V_c,T_c fornecidos — mas o procedimento padrão é usar b=V_c/3 e a=27P_c b^2.)

Passo 5

Organizar a equação para isolar P. A forma prática, usando volume total V e n, é:
P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a n^2}{V^2}.
Vou calcular cada termo separadamente (isso facilita na prova e evita erros).

Passo 6

Calcular o primeiro termo \dfrac{nRT}{V-nb}:
  • nRT=10\cdot 0{,}082057\cdot 300{,}15 = 246{,}2940855\\ \mathrm{L\\ atm}.
  • n b = 10\cdot 0{,}049333 = 0{,}493333\\ \mathrm{L}.
  • V-nb = 4{,}860 - 0{,}493333 = 4{,}366667\\ \mathrm{L}.
    Portanto
\frac{nRT}{V-nb}=\frac{246{,}2940855}{4{,}366667}\approx 56{,}403\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Calcular o segundo termo (correção de atração) \dfrac{a n^2}{V^2}:
  • V^2 = (4{,}860)^2 = 23{,}6196\\ \mathrm{L^2}.
  • a n^2 = 3{,}1673184\cdot 100 = 316{,}73184\\ \mathrm{L^2\\ atm}.
    Logo
\frac{a n^2}{V^2}=\frac{316{,}73184}{23{,}6196}\approx 13{,}405\\ \mathrm{atm}.
Assim, pela equação de van der Waals a pressão é a diferença entre esses termos:
P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a n^2}{V^2}.

Resposta

P\approx 42{,}998\\ \mathrm{atm}

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