Um gás a 250 K e 20 atm tem volume molar 18 \% menor do que o calculado pela lei dos gases perfeitos. Calcule (a) o fator de compressibilidade para esse gás nessas condições; (b) O volume molar do gás e (c) que forças são dominantes no gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Dados do enunciado:
  • Temperatura: T=250\\ \text{K}.
  • Pressão: P=20\\ \text{atm}.
  • O volume molar real é 18\% menor que o volume molar calculado pela lei dos gases perfeitos. Ou seja, se V_{m}^{\text{id}} é o volume molar ideal, então o volume real V_{m} satisfaz V_{m}=V_{m}^{\text{id}}-0{,}18\,V_{m}^{\text{id}}=0{,}82\,V_{m}^{\text{id}}.
O enunciado pede:
(a) calcular o fator de compressibilidade para esse gás nessas condições;
(b) calcular o volume molar do gás nessas condições;
(c) indicar quais forças intermoleculares são dominantes (atração ou repulsão).

Passo 2

Definição e fórmula útil: o fator de compressibilidade Z.
Explicação conceitual curta: o fator de compressibilidade é uma medida de quanto o comportamento real de um gás se desvia do comportamento do gás ideal. Para um mol de gás, define-se:
Z=\frac{P\,V_{m}}{R\,T},
onde:
  • P é a pressão (unidades compatíveis com R),
  • V_{m} é o volume molar real (volume por mol),
  • T é a temperatura (K),
  • R é a constante universal dos gases.
Se Z=1 o gás se comporta como ideal; se Z<1 o volume (ou pressão) é menor que o ideal e isso indica efeito líquido das forças atrativas; se Z>1 indica predominância de efeitos repulsivos (ou volume maior que o ideal).

Passo 3

Usar a informação do enunciado para achar Z analiticamente, sem ainda calcular números.
Sabendo que V_{m}^{\text{id}}=\dfrac{R\,T}{P} (fórmula do volume molar ideal a partir da lei dos gases perfeitos), e que o volume real é V_{m}=0{,}82\,V_{m}^{\text{id}}, substitui-se em Z:
Z=\frac{P\,V_{m}}{R\,T} =\frac{P\,(0{,}82\,V_{m}^{\text{id}})}{R\,T} =0{,}82\;\frac{P\,V_{m}^{\text{id}}}{R\,T}.
Mas V_{m}^{\text{id}}=\dfrac{R\,T}{P}, logo \dfrac{P\,V_{m}^{\text{id}}}{R\,T}=1. Portanto
Z=0{,}82.
Comentário didático: isso é muito prático — quando o enunciado dá a fração do volume real em relação ao ideal, o fator Z é exatamente essa fração porque Z compara P V_m com R T.

Passo 4

Cálculo numérico do volume molar real V_{m}.
Primeiro calcular o volume molar ideal:
V_{m}^{\text{id}}=\frac{R\,T}{P}.
Escolhe-se a constante R compatível com pressão em atm e volume em litros: R=0{,}082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}.
Calcule passo a passo:
V_{m}^{\text{id}}=\frac{0{,}082057\cdot 250}{20}.
Multiplicando 0{,}082057\cdot 250:
0{,}082057\cdot 250 = 0{,}082057\cdot(100+100+50)=8{,}2057+8{,}2057+4{,}10285=20{,}51425.
Agora dividir por 20:
V_{m}^{\text{id}}=\frac{20{,}51425}{20}=1{,}0257125\\ \text{L·mol}^{-1}.
Agora aplicar a redução de 18\%:
V_{m}=0{,}82\,V_{m}^{\text{id}}=0{,}82\cdot 1{,}0257125.
Fazendo a multiplicação:
0{,}82\cdot 1{,}0257125 = 0{,}84108425\\ \text{L·mol}^{-1}.
Arredondamento razoável para uma resposta de prova: V_{m}\approx 0{,}841\\ \text{L·mol}^{-1}.

Passo 5

Converter o volume molar para unidades do Sistema Internacional (m3·mol{-1}) e para cm3·mol{-1} se desejar intuir a magnitude.
Lembrando que 1\\ \text{L}=1\times 10^{-3}\\ \text{m}^{3}=1000\\ \text{cm}^{3}. Então:
V_{m}=0{,}84108425\\ \text{L·mol}^{-1}=0{,}84108425\times 10^{-3}\\ \text{m}^{3}\text{·mol}^{-1}=8{,}4108425\times 10^{-4}\\ \text{m}^{3}\text{·mol}^{-1}.
E em cm ^3:
V_{m}=0{,}84108425\\ \text{L·mol}^{-1}=841{,}08425\\ \text{cm}^{3}\text{·mol}^{-1}\approx 841{,}1\\ \text{cm}^{3}\text{·mol}^{-1}.

Passo 6

Interpretação física: quais forças intermoleculares são dominantes?
Explanação didática: quando Z<1 (aqui Z=0{,}82), o gás ocupa menos volume do que o esperado para um gás ideal nas mesmas P,T. Isso acontece porque as forças atrativas entre moléculas tendem a puxá-las umas para perto das outras, reduzindo o espaço efetivo e, portanto, o volume (ou diminuindo a pressão exercida nas paredes a volume fixo). Na linguagem de modelos (por exemplo, a equação de van der Waals), o termo associado a forças atrativas (parâmetro a) reduz a pressão efetiva e leva a Z<1 em condições moderadas. Já forças repulsivas tendem a aumentar o volume efetivo e resultariam em Z>1.
Portanto, a conclusão é: forças atrativas intermoleculares predominam nessas condições.

Passo 7

Dica rápida para a prova (curta e prática): se a questão disser “o volume real é X% menor/maior que o ideal”, basta multiplicar V_{m}^{\text{id}}=\dfrac{R T}{P} por essa fração para achar V_m e reconhecer que Z é exatamente essa fração. Para decidir sobre atrações/repulsões: Z<1\Rightarrow atrações dominam; Z>1\Rightarrow repulsões dominam.

Resposta

(a) Z=0,82
(b) V_{m}=0{,}841\\ \text{L·mol}^{-1}=8{,}41\times 10^{-4}\\ \text{m}^{3}\text{·mol}^{-1}
(c) Forças atrativas intermoleculares predominam (atração).

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