admita que as alturas das mulheres tenham distribuição normal com média \mu=63,6 in. e desvio padrão \sigma=2,5 in… Admita também que uma mulher seja escolhida aleatoriamente. Trace um gráfico e ache a probabilidade pedida.
6. O Beanstalk Club, uma organização social para pessoas de porte elevado, tem uma exigência de que as mulheres tenham ao menos 70 in . (ou 5 ft 10 in ) de altura. Cogita-se de abrir uma filial
do Beanstalk Club em uma área metropolitana com 500.000 mulheres adultas.
a) Determine a percentagem de mulheres adultas elegíveis para membro, par terem a altura mínima de 70 in.
b) Entre 500.000 mulheres adultas que vivem na área metropolitana, quantas podem ser candidatas ao Beanstalk Club?
c) O leitor abriria uma filial do Beanstalk Club?

Passo 1

O enunciado diz que a altura X das mulheres é X\sim N(\mu=63,6,\sigma=2,5) (em polegadas) e pede a probabilidade de X\ge70. Vamos usar o conceito de escore- z, a curva normal padrão e a tabela de \Phi(z). Também é pedido que multipliquemos essa probabilidade por 500
000 para estimar quantas mulheres atendem ao critério.

Passo 2

Esboce a curva de Gauss com média em 63,6. Marque no eixo horizontal o ponto x=70 e sombreamos a região à direita, que corresponde a
P(X\ge70)\,.

Passo 3

Calculamos o escore- z que transforma X em uma normal padrão:
z=\frac{70-63,6}{2,5} =\frac{6,4}{2,5} =2,56\,.

Passo 4

Na tabela da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z), temos \Phi(2,56)\approx0,9948. Logo
P(X\ge70)=1-\Phi(2,56) =1-0,9948 =0,0052\,.
Em percentagem, isso é
0,0052\times100=0,52\%\,.

Passo 5

Multiplicamos pela população de 500
000 mulheres:
500\,000\times0,0052=2\,600
ou seja, cerca de 2
600 mulheres atendem ao critério de 70 in.

Passo 6

Esse número é muito pequeno diante de 500
000. Provavelmente não haveria base suficiente para um clube tão exclusivo, a menos que haja outras motivações (marketing, patrocínios etc.).

Resposta

(a) 0,52\%
(b) 2\,600 mulheres aproximadamente
(c) Eu não abriria, pois há muito poucas candidatas para justificar uma filial dedicada.

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