1. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências tenham distribuição normal com média de 9,4 \mathrm{lb} e desvio padrão de 4,2 \mathrm{lb}, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 \mathrm{lb} e 8,0 \mathrm{lb} de papel em uma semana.

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória X que modela o peso de papel descartado semanalmente por uma residência, com distribuição normal de média \mu = 9,4 lb e desvio padrão \sigma = 4,2 lb. Precisamos calcular a probabilidade
P(5,0 \le X \le 8,0).
Para isso, vamos usar a padronização de X e a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
que segue Z\sim N(0,1). Então os limites se transformam em
z_1 = \frac{5,0 - 9,4}{4,2} = \frac{-4,4}{4,2} \approx -1,05, \quad z_2 = \frac{8,0 - 9,4}{4,2} = \frac{-1,4}{4,2} \approx -0,33.

Passo 3

A probabilidade desejada é
P(5,0 \le X \le 8,0) = P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando simetria e tabela:
\Phi(-0,33) = 1 - \Phi(0,33) \approx 1 - 0,6293 = 0,3707,
\Phi(-1,05) = 1 - \Phi(1,05) \approx 1 - 0,8531 = 0,1469.

Passo 4

Subtraindo esses valores, obtemos
P(5,0 \le X \le 8,0) \approx 0,3707 - 0,1469 = 0,2238.

Resposta

A probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 lb e 8,0 lb de papel em uma semana é aproximadamente 0,224 (ou 22{,}4\%).

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