Admita que em condições usuais o conteúdo (em mg/ml) de determinada substância em certo fluido se comporta segundo uma distribuição normal com média 87 e variância 4. Qual a probabilidade de que uma pequena amostra extraída deste fluido, esteja com conteúdo da substância S entre 87,5 mg / ml e 90 mg / ml ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve distribuição normal. A gente precisa calcular a probabilidade de que, numa amostra desse fluido, o conteúdo da substância S esteja entre 87,5 mg/ml e 90 mg/ml. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, usar a média e a variância que você me deu, e aplicar umas fórmulas para encontrar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que a gente sabe:
  • A média ( mu) da distribuição é 87 mg/ml.
  • A variância ( sigma^2) é 4, então o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada de 4, que é 2 mg/ml.
Queremos encontrar a probabilidade de S estar entre 87,5 e 90 mg/ml.

Passo 3

A distribuição normal é simétrica e a maioria dos valores estão próximos da média. Pra encontrar a probabilidade entre dois valores, a gente transforma esses valores em escores z, que nos mostram quantos desvios padrão cada valor está da média. A fórmula pra isso é:
z = X - musigma

Passo 4

Vamos calcular o z para os dois valores que nos interessam.
Primeiro, para 87,5 mg/ml:
z1 = 87,5 - 872 = 0,52 = 0,25
Agora, para 90 mg/ml:
z2 = 90 - 872 = 32 = 1,5

Passo 5

Com os escores z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade acumulada até esses pontos.
  • Para z1 = 0,25, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,5987.
  • Para z2 = 1,5, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9332.

Passo 6

A probabilidade de S estar entre 87,5 e 90 mg/ml é a diferença entre essas duas probabilidades acumuladas:
P(87,5 <= S <= 90) = P(z <= 1,5) - P(z <= 0,25) = 0,9332 - 0,5987 = 0,3345

Resposta

A probabilidade de que uma amostra extraída tenha o conteúdo da substância S entre 87,5 mg/ml e 90 mg/ml é de aproximadamente 33,45%.

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