Admita que a dinâmica motriz para um veículo elétrico híbrido (HEV) possa ser descrita pela função de transferência
em que
é a variação da velocidade em
e
é a variação força propulsora excedente em
necessária para propulsionar o veículo. Obtenha uma expressão analítica para
para uma variação em degrau na força propulsora excedente
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função de transferência que relaciona a variação de velocidade do veículo elétrico híbrido (
) com a variação da força propulsora excedente (
):
O conteúdo aqui envolve funções de transferência e transformada de Laplace, que são ferramentas usadas para analisar sistemas dinâmicos. O que precisamos fazer é encontrar a expressão no tempo,
, quando aplicamos uma variação em degrau na força propulsora excedente, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma variação em degrau. No domínio do tempo, uma função degrau de magnitude
é representada por
, onde
é a função degrau de Heaviside. A transformada de Laplace dessa função é
.
Então, a transformada de Laplace da variação em degrau na força propulsora excedente é:
Passo 3
Agora, usando a função de transferência dada, podemos encontrar
multiplicando
pela função de transferência:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Vamos simplificar a expressão usando frações parciais.
Primeiro, decompomos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores estratégicos para
para facilitar:
- Quando
:
- Para encontrar
, igualamos os coeficientes dos termos de :
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
, primeiro simplificamos:
Calculando
:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a expressão para a variação da velocidade no tempo é: