b) O que se pode dizer do lugar das raízes de um sistema cuja frequência natural não amortecida não varia em uma faixa do ganho?
c) A função de transferência do sistema de posicionamento dos espelhos de um telescópio é
Este sistema tem realimentaçāo unitária e é controlado por controlador proporcional. Esboce o lugar das raízes deste sistema. Caso haja dificuldade em determinar algum elemento, deixe-o indicado.
c) A função de transferência do sistema de posicionamento dos espelhos de um telescópio é
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas perguntinhas:
b) “O que rola com o lugar das raízes quando a frequência natural não amortecida não muda ao variar o ganho?”
c) Desenhar o lugar das raízes (root‐locus) de
b) “O que rola com o lugar das raízes quando a frequência natural não amortecida
c) Desenhar o lugar das raízes (root‐locus) de
com realimentação unitária e controle proporcional.
Conteúdo: dinâmica de segundo e terceiro ordem, frequência natural , coeficiente de amortecimento
, e regras para esboçar root‐locus. Vamos precisar de: definição de
, critérios de localização de polos no plano
, fórmula de assíntotas, segmento de eixo real, e Critério de Routh para achar cruzamentos imaginários.
Conteúdo: dinâmica de segundo e terceiro ordem, frequência natural
Passo 2
Primeiro a parte (b).
Teoria rápida: se um par de polos complexos tem forma , a frequência natural não amortecida é
Teoria rápida: se um par de polos complexos tem forma
Se ao variar
esse
não muda, significa que o módulo do vetor do polo até a origem é constante. Logo, os polos se movem sobre um círculo de raio
no plano
. Em resumo:
“Quando não varia com o ganho, o lugar das raízes correspondente percorre um arco de circunferência de raio
.”
“Quando
Passo 3
Agora a parte ©.
- Identificar polos e zeros de malha aberta
:
– Polos eme em , ou seja – Não há zeros finitos. - Número de polos
, zeros ⇒ 3 ramos de root‐locus saindo dos polos e indo para infinito.
Passo 4
Assíntotas (para
):
– O número de assíntotas é .
– Ângulos das assíntotas:
– O número de assíntotas é
– Ângulos das assíntotas:
ou seja
.
– Centroide (interseção das assíntotas no eixo real):
– Centroide (interseção das assíntotas no eixo real):
Passo 5
Segmentos do eixo real com lugar das raízes:
– Marque no eixo real o polo em . Só há ele ali.
– Para , à esquerda de
, há 1 polo à direita ⇒ número ímpar ⇒ o locus está ali. Logo, todo o semi‐eixo real
pertence ao root‐locus.
– Marque no eixo real o polo em
– Para
Pontos de encontro (breakaway/break‐in) e cruzamentos: calcular exato dá bem trabalho, mas a ideia geral é:
– Um ramo sai do polo real em , caminha para a esquerda e, em certo ponto, divide-se em duas assíntotas (uma a
e outra a
, mas como são simétricas isso só representa ida para
).
– Os outros dois ramos saem dos complexos e vão em direção às assíntotas de
e
, centradas em
.
– Um ramo sai do polo real em
– Os outros dois ramos saem dos complexos
Passo 6
Para ver se ocorre cruzamento no eixo imaginário, aplicamos o Critério de Routh no polinômio característico
Montando Routh:
s³: 1 5
s²: 2 K
s¹:
s⁰: K
s³: 1 5
s²: 2 K
s¹:
s⁰: K
Para cruzamento imaginário, precisa de linha nula em s¹ ⇒
⇒
.
Resposta
– No item b, o lugar das raízes percorre um arco de circunferência de raio constante
sempre que a frequência natural não amortecida não muda com o ganho.
– No item c, o root‐locus de
– No item c, o root‐locus de
tem três ramos saindo dos polos em
e
; três assíntotas de ângulos
com centroide em
; o ramo real vai de
para
e os outros dois vão para
pelos ângulos
. Há cruzamento no eixo imaginário em
.