b) O que se pode dizer do lugar das raízes de um sistema cuja frequência natural não amortecida não varia em uma faixa do ganho?
c) A função de transferência do sistema de posicionamento dos espelhos de um telescópio é
G(s)=KS(s^2+2 s+5)
Este sistema tem realimentaçāo unitária e é controlado por controlador proporcional. Esboce o lugar das raízes deste sistema. Caso haja dificuldade em determinar algum elemento, deixe-o indicado.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas perguntinhas:
b) “O que rola com o lugar das raízes quando a frequência natural não amortecida G(s)=Ks,(s^2+2s+5) não muda ao variar o ganho?”
c) Desenhar o lugar das raízes (root‐locus) de
com realimentação unitária e controle proporcional.
Conteúdo: dinâmica de segundo e terceiro ordem, frequência natural , coeficiente de amortecimento , e regras para esboçar root‐locus. Vamos precisar de: definição de , critérios de localização de polos no plano , fórmula de assíntotas, segmento de eixo real, e Critério de Routh para achar cruzamentos imaginários.

Passo 2

Primeiro a parte (b).
Teoria rápida: se um par de polos complexos tem forma omegan = raizRe(s)^2 + Im(s)^2 , a frequência natural não amortecida é
Se ao variar esse não muda, significa que o módulo do vetor do polo até a origem é constante. Logo, os polos se movem sobre um círculo de raio no plano . Em resumo:
“Quando não varia com o ganho, o lugar das raízes correspondente percorre um arco de circunferência de raio .”

Passo 3

Agora a parte ©.
  1. Identificar polos e zeros de malha aberta s=-1pm j2 :
    – Polos em e em , ou seja – Não há zeros finitos.
  2. Número de polos , zeros ⇒ 3 ramos de root‐locus saindo dos polos e indo para infinito.

Passo 4

Assíntotas (para thetak = (2k+1),180^circ3, k=0,1,2 ):
– O número de assíntotas é sigmaa = sum pólos - sum zerosP-Z = (0)+(-1+j2)+(-1-j2)3 = -23 .
– Ângulos das assíntotas:
ou seja .
– Centroide (interseção das assíntotas no eixo real):
ó

Passo 5

Segmentos do eixo real com lugar das raízes:
– Marque no eixo real o polo em . Só há ele ali.
– Para , à esquerda de , há 1 polo à direita ⇒ número ímpar ⇒ o locus está ali. Logo, todo o semi‐eixo real pertence ao root‐locus.
Pontos de encontro (breakaway/break‐in) e cruzamentos: calcular exato dá bem trabalho, mas a ideia geral é:
– Um ramo sai do polo real em , caminha para a esquerda e, em certo ponto, divide-se em duas assíntotas (uma a e outra a , mas como são simétricas isso só representa ida para ).
– Os outros dois ramos saem dos complexos e vão em direção às assíntotas de e , centradas em .

Passo 6

Para ver se ocorre cruzamento no eixo imaginário, aplicamos o Critério de Routh no polinômio característico
1 + L(s) = 0 ;Longrightarrow; s^3 + 2s^2 + 5s + K = 0
Montando Routh:
s³: 1  5
s²: 2  K
s¹:
s⁰: K
Para cruzamento imaginário, precisa de linha nula em s¹ ⇒ .

Resposta

– No item b, o lugar das raízes percorre um arco de circunferência de raio constante G(s)=Ks(s^2+2s+5) sempre que a frequência natural não amortecida não muda com o ganho.
– No item c, o root‐locus de
tem três ramos saindo dos polos em e ; três assíntotas de ângulos com centroide em ; o ramo real vai de para e os outros dois vão para pelos ângulos . Há cruzamento no eixo imaginário em .

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