Encontre a função de transferência entre a tensão aplicada
e a posição do motor
, ou seja, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função de transferência entre a tensão aplicada
e a posição do motor
, que é representada por
. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e motores DC. Precisaremos entender como a tensão afeta a corrente no motor e, por consequência, como essa corrente controla a posição do motor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um motor DC, a tensão aplicada
está relacionada à corrente
que passa pelo motor. Essa relação é dada pela equação elétrica do motor:
Aqui:
-
é a resistência do motor, -
é a indutância, -
é a variável da transformada de Laplace, -
é a força contraeletromotriz (célula contra a tensão aplicada).
Passo 3
A força contraeletromotriz
está relacionada à velocidade angular do motor
(que é a derivada da posição
) pela constante
:
Como
, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação elétrica:
Vamos isolar
:
Passo 5
Na parte mecânica, a torque
gerada pelo motor está relacionada à aceleração angular
(segunda derivada da posição
):
Aqui:
-
é o momento de inércia, -
é o coeficiente de atrito viscoso.
Como
e
, substituímos na equação:
Passo 6
A torque
também está relacionada à corrente
pela constante
:
Então, igualando as duas expressões para
:
Substituímos
da Passo 4:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
:
Isolando
:
Passo 8
Agora, identificamos a função de transferência
:
Podemos simplificar se necessário, mas essa já é a forma geral da função de transferência entre a tensão aplicada e a posição do motor.
Resposta
A função de transferência entre a tensão aplicada
e a posição do motor
é: