Encontre a função de transferência entre a tensão aplicada va e a posição do motor thetam, ou seja, encontre G(s)=thetam(s)Va(s) cdot(6,0 pts).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função de transferência entre a tensão aplicada e a posição do motor , que é representada por . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e motores DC. Precisaremos entender como a tensão afeta a corrente no motor e, por consequência, como essa corrente controla a posição do motor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um motor DC, a tensão aplicada Va = I R + L s I + e está relacionada à corrente que passa pelo motor. Essa relação é dada pela equação elétrica do motor:
Aqui:
  • é a resistência do motor,
  • é a indutância,
  • é a variável da transformada de Laplace,
  • é a força contraeletromotriz (célula contra a tensão aplicada).

Passo 3

A força contraeletromotriz e = Ke omegam está relacionada à velocidade angular do motor e = Ke s thetam (que é a derivada da posição ) pela constante :
Como , podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos Va = I R + L s I + Ke s thetam na equação elétrica:
I (R + L s) = Va - Ke s thetam
Vamos isolar I = Va - Ke s thetamR + L s :

Passo 5

Na parte mecânica, a torque tau = J alpha + b omegam gerada pelo motor está relacionada à aceleração angular tau = J s^2 thetam + b s thetam (segunda derivada da posição ):
Aqui:
  • é o momento de inércia,
  • é o coeficiente de atrito viscoso.
Como e , substituímos na equação:

Passo 6

A torque tau = Kt I também está relacionada à corrente Kt I = J s^2 thetam + b s thetam pela constante Kt ( Va - Ke s thetamR + L s ) = J s^2 thetam + b s thetam :
Então, igualando as duas expressões para :
Substituímos da Passo 4:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para Kt (Va - Ke s thetam) = (J s^2 + b s)(R + L s) thetam :
Kt Va - Kt Ke s thetam = (J s^2 + b s)(R + L s) thetam
Kt Va = [ (J s^2 + b s)(R + L s) + Kt Ke s ] thetam
Isolando thetam = Kt Va(J s^2 + b s)(R + L s) + Kt Ke s :

Passo 8

Agora, identificamos a função de transferência G(s) = thetam(s)Va(s) = Kt(J s^2 + b s)(R + L s) + Kt Ke s :
Podemos simplificar se necessário, mas essa já é a forma geral da função de transferência entre a tensão aplicada e a posição do motor.

Resposta

A função de transferência entre a tensão aplicada G(s) = thetam(s)Va(s) = Kt(J s^2 + b s)(R + L s) + Kt Ke s e a posição do motor é:

Exercícios relacionados