Admita
er
.
Admitindo que a carga inicial da garrafa é
e que
é a carga após
processos de eletrização descritos, determine a recorrência que relaciona
e
.
Admitindo que a carga inicial da garrafa é
Passo 1
O enunciado fornece (ou diz) as seguintes coisas:
- Admitir
e (essa linha está um pouco ambígua na escrita, mas é um dado geométrico fornecido). - A carga inicial da garrafa é
. -
é a carga da garrafa após processos de eletrização descritos no enunciado original. - Pede-se: determinar uma recorrência que relacione
com .
O que falta (informação necessária que não foi enviada):
- A descrição precisa do “processo de eletrização descrito” (por exemplo: é por contato com um corpo que tem carga fixa? por contato com um corpo cujo potencial/ carga varia? por indução com aterramento? existe retirada de parte da carga entre etapas?).
- Se há um corpo externo com carga
sempre igual a cada passo, qual é sua carga ou sua capacitância com respeito à garrafa. - As capacitâncias envolvidas (capacitância da garrafa
e da(s) peça(s) com que ela interage), ou a regra física exata de repartição de carga a cada processo.
Sem essa descrição detalhada (ou a figura/diagrama que define o processo) não é possível obter um valor numérico ou uma forma específica da recorrência. Por isso, não é possível “calcular” um coeficiente concreto a partir do que foi enviado.
Passo 2
Mesmo sem os números/figura, dá para escrever a forma geral da recorrência que aparece nos modelos físicos mais comuns de eletrização repetida. Vou explicar passo a passo o modelo físico mais simples e frequentemente usado: eletrização por contato repetido com um outro condutor (ou com um mesmo corpo externo que tem sempre a mesma carga).
Princípios físicos usados (pequena aula):
- Conservação da carga: quando dois condutores metálicos são colocados em contato e depois separados, a carga total se conserva. Se um condutor tem carga
e outro , o total antes do contato é e permanece o mesmo após o contato. - Igualdade de potencial no contato: ao se tocarem, os dois condutores atingem o mesmo potencial final
. Se um condutor tem capacitância e o outro , as cargas finais serão e . Como é o total, temos - Esse raciocínio é a base para obter uma relação linear entre a carga final de um condutor e as cargas iniciais envolvidas.
Passo 3
Aplicando ao problema da garrafa (modelo por contato com um corpo externo idêntico a cada passo):
- Suponha que a garrafa tenha capacitância
(para referência: capacitância à terra ou entre as partes relevantes) e que, em cada processo, ela seja posta em contato com um corpo externo cuja capacitância efetiva (relativa à garrafa) seja e cuja carga no instante do contato seja (essa pode ser constante a cada processo ou variar; aqui trato do caso constante por passo idêntico). - Antes do
-ésimo contato a garrafa tem carga e o corpo externo tem carga . - Pelo princípio acima, depois do contato a carga que fica na garrafa é
- Definindo
obtemos a forma linear de recorrência
Explicação intuitiva: a cada contato a garrafa “recebe” uma fração
do total de cargas disponíveis no par (garrafa + corpo externo). Isso produz um termo proporcional a
(o que já estava na garrafa) e um termo constante
(a contribuição do corpo externo, se ele tem carga constante a cada etapa).
Passo 4
Casos especiais e interpretação (úteis para prova):
- Se o corpo externo tiver sempre a mesma carga
e , a solução da recorrência é a clássica linhaar afim e, para longo prazo, tende para o ponto fixo . - Se
(por exemplo, se o processo apenas redistribui carga entre a garrafa e outro corpo neutro), então e a recorrência vira que é progressão geométrica (decaimento ou multiplicação por a cada etapa). - Se o processo for por indução com aterramento, o mesmo tipo de relação linear costuma aparecer, mas com
e determinados por como a capacitância entre garrafa, terra e indutor se combinam. O ponto importante é que o resultado geral típico é da forma afim .
Observação final importante: para obter os valores concretos de
e
(números) é necessário conhecer a geometria e as capacitâncias (ou a carga
e
), dados esses que não foram fornecidos no enunciado enviado. Portanto não posso fornecer um
numérico nem uma recorrência com números específicos sem essa informação.