Admita
\ell \gg \mathrm{t} er \gg \mathrm{t}.
Admitindo que a carga inicial da garrafa é \mathrm{q}_{0}=0 e que \mathrm{q}_{\mathrm{n}} é a carga após \mathbf{n} processos de eletrização descritos, determine a recorrência que relaciona \mathrm{q}_{\mathrm{n}} e \mathrm{q}_{\mathrm{n}-1}.

Passo 1

O enunciado fornece (ou diz) as seguintes coisas:
  • Admitir \ell \gg \mathrm{t} e \mathrm{r} \gg \mathrm{t} (essa linha está um pouco ambígua na escrita, mas é um dado geométrico fornecido).
  • A carga inicial da garrafa é \mathrm{q}_{0}=0.
  • \mathrm{q}_{n} é a carga da garrafa após \mathbf{n} processos de eletrização descritos no enunciado original.
  • Pede-se: determinar uma recorrência que relacione \mathrm{q}_{n} com \mathrm{q}_{n-1}.
O que falta (informação necessária que não foi enviada):
  • A descrição precisa do “processo de eletrização descrito” (por exemplo: é por contato com um corpo que tem carga fixa? por contato com um corpo cujo potencial/ carga varia? por indução com aterramento? existe retirada de parte da carga entre etapas?).
  • Se há um corpo externo com carga Q_{\text{ext}} sempre igual a cada passo, qual é sua carga ou sua capacitância com respeito à garrafa.
  • As capacitâncias envolvidas (capacitância da garrafa C_{\text{garrafa}} e da(s) peça(s) com que ela interage), ou a regra física exata de repartição de carga a cada processo.
Sem essa descrição detalhada (ou a figura/diagrama que define o processo) não é possível obter um valor numérico ou uma forma específica da recorrência. Por isso, não é possível “calcular” um coeficiente concreto a partir do que foi enviado.

Passo 2

Mesmo sem os números/figura, dá para escrever a forma geral da recorrência que aparece nos modelos físicos mais comuns de eletrização repetida. Vou explicar passo a passo o modelo físico mais simples e frequentemente usado: eletrização por contato repetido com um outro condutor (ou com um mesmo corpo externo que tem sempre a mesma carga).
Princípios físicos usados (pequena aula):
  • Conservação da carga: quando dois condutores metálicos são colocados em contato e depois separados, a carga total se conserva. Se um condutor tem carga q_a e outro q_b, o total antes do contato é q_a+q_b e permanece o mesmo após o contato.
  • Igualdade de potencial no contato: ao se tocarem, os dois condutores atingem o mesmo potencial final V. Se um condutor tem capacitância C_1 e o outro C_2, as cargas finais serão q_1=C_1 V e q_2=C_2 V. Como q_1+q_2 é o total, temos q_1 = \frac{C_1}{C_1+C_2}\,(q_a+q_b).
  • Esse raciocínio é a base para obter uma relação linear entre a carga final de um condutor e as cargas iniciais envolvidas.

Passo 3

Aplicando ao problema da garrafa (modelo por contato com um corpo externo idêntico a cada passo):
  • Suponha que a garrafa tenha capacitância \,C_{\text{g}} (para referência: capacitância à terra ou entre as partes relevantes) e que, em cada processo, ela seja posta em contato com um corpo externo cuja capacitância efetiva (relativa à garrafa) seja \,C_{\text{s}} e cuja carga no instante do contato seja Q_{\text{ext}} (essa Q_{\text{ext}} pode ser constante a cada processo ou variar; aqui trato do caso constante por passo idêntico).
  • Antes do n-ésimo contato a garrafa tem carga q_{n-1} e o corpo externo tem carga Q_{\text{ext}}.
  • Pelo princípio acima, depois do contato a carga que fica na garrafa é q_{n} = \frac{C_{\text{g}}}{C_{\text{g}}+C_{\text{s}}}\,\bigl(q_{n-1}+Q_{\text{ext}}\bigr).
  • Definindo \alpha := \frac{C_{\text{g}}}{C_{\text{g}}+C_{\text{s}}} \quad\text{e}\quad \beta := \alpha\,Q_{\text{ext}},obtemos a forma linear de recorrência q_{n} = \alpha\,q_{n-1} + \beta.
Explicação intuitiva: a cada contato a garrafa “recebe” uma fração \alpha do total de cargas disponíveis no par (garrafa + corpo externo). Isso produz um termo proporcional a q_{n-1} (o que já estava na garrafa) e um termo constante \beta (a contribuição do corpo externo, se ele tem carga constante a cada etapa).

Passo 4

Casos especiais e interpretação (úteis para prova):
  • Se o corpo externo tiver sempre a mesma carga Q_{\text{ext}} e 0<\alpha<1, a solução da recorrência é a clássica linhaar afim e, para longo prazo, q_n tende para o ponto fixo q_{\infty}=\dfrac{\beta}{1-\alpha} = \dfrac{\alpha Q_{\text{ext}}}{1-\alpha}.
  • Se Q_{\text{ext}}=0 (por exemplo, se o processo apenas redistribui carga entre a garrafa e outro corpo neutro), então \beta=0 e a recorrência vira q_n = \alpha q_{n-1},que é progressão geométrica (decaimento ou multiplicação por \alpha a cada etapa).
  • Se o processo for por indução com aterramento, o mesmo tipo de relação linear costuma aparecer, mas com \alpha e \beta determinados por como a capacitância entre garrafa, terra e indutor se combinam. O ponto importante é que o resultado geral típico é da forma afim q_n=\alpha q_{n-1}+\beta.
Observação final importante: para obter os valores concretos de \alpha e \beta (números) é necessário conhecer a geometria e as capacitâncias (ou a carga Q_{\text{ext}} e C_{\text{s}}), dados esses que não foram fornecidos no enunciado enviado. Portanto não posso fornecer um \alpha numérico nem uma recorrência com números específicos sem essa informação.

Resposta

q_{n}=\alpha\,q_{n-1}+\beta,\quad\text{com}\quad \alpha=\dfrac{C_{\text{garrafa}}}{C_{\text{garrafa}}+C_{\text{outro}}},\quad \beta=\alpha\,Q_{\text{ext}}.

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