QUESTÃO
Valor: 1,00
Uma pequena pulga está numa superfície horizontal e ela deseja saltar por cima de um tronco cilíndrico de raio R que repousa sobre a mesma superfície. Determine: (use g para a aceleração da gravidade)
(A) O menor valor de velocidade com que a pulga deve saltar para conseguir seu feito;
(B) Quanto tempo ela passa sobre o tronco, durante seu voo;
(C) O alcance horizontal quando ela retorna a superfície.
(A) O menor valor de velocidade com que a pulga deve saltar para conseguir seu feito;
(B) Quanto tempo ela passa sobre o tronco, durante seu voo;
(C) O alcance horizontal quando ela retorna a superfície.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei do enunciado: o tronco é um cilindro de raio
apoiado sobre a superfície horizontal; a pulga está sobre essa superfície e salta para atravessar o tronco; usar
.)
-
Dados importantes:
- Raio do tronco:
. - Gravidade:
. - A pulga salta a partir da superfície horizontal (nível do solo).
- É entendido que o salto é um movimento de projétil (sem empuxos adicionais durante o voo) sob aceleração vertical
.
- Raio do tronco:
-
O que o enunciado pede:
(A) O menor valor de velocidade inicial (ou seja, a velocidade inicial mínima) com que a pulga deve saltar para conseguir passar por cima do tronco (isto é, para que a trajetória não acerte a seção circular do cilindro).
(B) Quanto tempo ela passa sobre o tronco, durante seu voo (interpreto como: para a trajetória crítica que “toca” o tronco no caso mínimo — e também comento o caso geral).
(C) O alcance horizontal (distância total horizontal percorrida até retornar ao solo) no caso do salto considerado.
Observação sobre a geometria usada (fixada para resolver): coloco a coordenada horizontal de partida da pulga em
(solo), e coloco o centro da seção circular do tronco no ponto
(isto é, a distância horizontal entre o ponto de partida e o centro do tronco é
). Essa escolha é a geometria usual: a pulga está no solo exatamente alinhada, horizontalmente, com o bordo esquerdo do tronco (ou seja, a projeção horizontal do tronco começa em
e vai até
). Essa configuração é natural e típica em exercícios: a base do cilindro fica logo à frente da pulga. A partir desta configuração, vou achar a velocidade mínima que permite a trajectória passar acima da circunferência de raio
centrada em
.
Passo 2
A física do salto (recapitulando e ensinando): movimento de projétil sem resistência do ar.
- Se a velocidade inicial é
e o ângulo de lançamento em relação ao horizontal é , as componentes iniciais são (horizontal) e (vertical). - As equações do movimento (origem no ponto de lançamento, eixo
horizontal, eixo vertical para cima) são:
- Eliminando
para obter a equação da trajetória em função de (útil para comparar com a circunferência):
Explicando cada termo:
é a altura da reta inicial (sem gravidade); o segundo termo é a deflexão parabólica devida à gravidade, proporcional a
e a
e inversamente proporcional à componente horizontal do quadrado da velocidade.
Passo 3
Ideia matemática para achar a velocidade mínima (aulas de método): a família de trajetórias com mesma
e variando
tem uma envoltória (o máximo de
que se pode obter em cada
com essa velocidade). Se o tronco é um obstáculo, para um dado
todas as trajetórias possíveis ficam abaixo dessa envoltória. Portanto, a menor velocidade
que permite passar por cima do tronco é aquela tal que a envoltória das trajetórias tangencia a circunferência do tronco — em outras palavras, a envoltória “encosta” na circunferência em um único ponto (tangência). Esse é um método padrão e poderoso: reduzir o problema de “não intersectar” a “encontrar a menor
cuja envoltória é maior ou igual à curva do obstáculo em todo domínio”; a igualdade em um ponto dá a condição de limite.
- Primeiro passo técnico: encontrar a equação da envoltória (altura máxima possível, para dado
, em cada ). - Começo do cálculo: considerar
. A envoltória em é obtida maximizando em , ou seja impondo .
Calcule
. Usando cálculo:
Impondo
(e descartando
que não ocorre), obtemos:
Substituir essa
na expressão de
(e usar
) simplifica e dá a envoltória máxima:
A interpretação: para um dado
, a maior altura que se pode obter em abscissa
(variando o ângulo) é uma parábola invertida em
. Importante: a envoltória é simétrica em relação a
(isso é porque assumi ponto de lançamento na origem).
Passo 4
Agora a circunferência do tronco: com a escolha geométrica indicada (pulga lança de
e centro do tronco em
), a equação da circunferência (seção transversal do tronco) é
A “borda superior” do cilindro (metade superior) tem coordenada vertical
Para que a pulga passe “por cima do tronco”, a envoltória
tem de satisfazer
No caso limite (velocidade mínima) a igualdade ocorrerá em pelo menos um ponto
(tangência):
e as derivadas coincidem aí:
.
Vamos escrever essas duas equações de tangência (duas equações para as duas incógnitas
e
).
- Derivada da envoltória:
- Derivada da borda superior do tronco (chamando
e ):
Igualando as derivadas em
:
É conveniente introduzir a variável adimensional
definida por
Então
e
.
Da igualdade de derivadas obtemos uma relação que pode ser rearranjada para expressar
em função de
:
(É apenas a forma rearranjada da igualdade.)
A outra igualdade (igualdade das alturas) é
Substituindo
,
e a expressão de
em função de
, obtém-se uma equação envolvendo apenas
. Depois de simplificar (é um pouco de álgebra), chega-se à equação adimensional
Essa equação não é trivial analiticamente, mas tem exatamente uma raiz no intervalo
. Vamos resolvê-la numericamente (explico como fez-se: teste de valores e refinamento).
Passo 5
Resolver numericamente a equação para
e obter
e o ângulo associado.
- Resolvendo numericamente a equação
encontramos
- Com esse
obtemos
- Substituindo em
, obtemos
Assim, a velocidade mínima é
Também podemos obter o ângulo de lançamento correspondente (o ângulo que, para essa
, dá a trajetória tangente ao tronco). Lembre-se da condição usada para obter a envoltória:
Aplicando em
e com o
encontrado:
logo
Passo 6
Agora calculo a parte (B) e (C) para o caso da trajetória crítica (velocidade mínima) e comento o caso geral.
(B) Tempo que ela passa sobre o tronco:
- Observação conceitual: no caso da velocidade mínima a trajetória é tangente ao tronco: isso significa que a parábola que descreve a pulga toca a circunferência em exatamente um ponto (ponto de tangência) e não a atravessa. Portanto, no caso crítico (velocidade mínima) a pulga não cruza uma região “sobre” o tronco: a trajetória apenas roça a superfície do tronco. Assim, o tempo que a pulga “passa sobre o tronco” (isto é, o intervalo de tempo durante o qual sua projeção vertical está acima da secção circular do tronco) reduz-se a zero no caso limite. Em linguagem simples:
- Caso geral
: a pulga intersectará a “projeção” superior do tronco em dois instantes (entrada e saída). Para obter o tempo há que resolver a interseção da parábola da trajetória com a circunferência:
Essa é uma equação polinomial em
de grau até 4; na prática pode ser reduzida a um polinômio de grau 4 e as raízes físicas (positivas e dentro do intervalo) dão
e
. O tempo sobre o tronco é a diferença das duas raízes positivas. Em geral dá uma expressão algébrica extensa, pelo que em provas costuma-se:
- (i) pedir apenas o caso limite, em que
, ou - (ii) pedir a expressão formal (resolvendo o polinômio) ou pedido numérico para valores dados de
e .
Resumo prático: para o caso solicitado do menor
, o tempo sobre o tronco é nulo.
Passo 7
(C) Alcance horizontal quando ela retorna à superfície (caso crítico e comentário):
- Fórmula clássica para o alcance horizontal total
de um projétil lançado do solo (não considerando o tronco), com é
No caso crítico (usando
e
que encontramos), o alcance é
Substituindo os valores numéricos obtidos:
logo
Ou seja, a pulga, com a velocidade mínima encontrada, percorre horizontalmente cerca de
até voltar ao solo (valor numérico em função de
).
- Comentário didático: se a pulga lançasse com mesma velocidade mas ângulo diferente, o alcance mudaria segundo a fórmula
. A combinação dá o alcance indicado acima.
Resposta
(A)
(B) No caso crítico
a trajetória é tangente ao tronco, portanto o tempo que a pulga passa “sobre o tronco” é
. (Para
o tempo
é a diferença entre as duas raízes positivas da interseção da trajetória com a circunferência, obtida resolvendo
.)
(C) Alcance total no caso crítico: