Considerando o cenário descrito, determine:
O índice de refração desse meio fluido em termos de \beta, \lambda, \mathrm{N}, \mathrm{k}, \ell.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o índice de refração do meio fluido em termos de \beta,\; \lambda,\; N,\; k,\; \ell.
Informações fornecidas (o que efetivamente há no enunciado e na figura que foi enviada):
  • Foi pedido o índice de refração em função das variáveis listadas; não há definição explícita no enunciado sobre o que cada símbolo representa (por exemplo: se \beta é uma defasagem de fase, se N é número de franjas, se k é o número de onda no meio ou no vácuo, etc.).
  • A figura enviada mostra uma curva rotulada g(x)=p x^3 + q x e uma região sombreada (detalhes da figura listados na seção de imagens). Não há na figura nenhuma indicação explícita das letras \beta,\lambda,N,k,\ell.
Observação importante (antes de começar a resolver): para relacionar o índice de refração n com os símbolos pedidos é necessário saber o significado físico desses símbolos. Existem, porém, relações padrão muito usadas em óptica que ligam n a combinações desses símbolos. Vou apresentar essas relações padrão, explicando passo a passo de onde vêm e o que cada variável representa em cada caso. Se a intenção do enunciado for algum significado não padrão de \beta,\;N ou k, então será preciso informar esse significado; sem isso, não há um único resultado único — há várias fórmulas úteis dependendo do contexto.

Passo 2

Conceito básico e relacionamento entre comprimento de onda, número de onda e índice:
  • Definição do índice de refração: n é a razão entre a velocidade da luz no vácuo c e a velocidade da luz no meio v, isto é n = c/v.
    (Isto é a definição conceitual; abaixo vamos usar relações de onda.)
  • Número de onda no vácuo (ou associado ao comprimento de onda \lambda no vácuo): o número de onda é o número de radianos por comprimento, dado por
k_0=\frac{2\pi}{\lambda},
onde aqui \lambda é o comprimento de onda no vácuo (ou o comprimento de onda de referência).
  • Número de onda dentro do meio (denotado por k se esse for o significado usado) satisfaz a relação
k = n k_0.
Isto porque a frequência \nu permanece a mesma ao entrar no meio, e k=\dfrac{2\pi\nu}{v}=\dfrac{2\pi\nu}{c}n = n k_0.
  • Dessas duas últimas igualdades segue uma expressão imediata para n em termos de k e \lambda:
n = \frac{k}{k_0} = \frac{k}{2\pi/\lambda} = \frac{k\,\lambda}{2\pi}.
Explicação da fórmula: se k for o número de onda medido dentro do meio e \lambda o comprimento de onda no vácuo (ou o comprimento de referência associado a k_0), então a expressão acima dá o índice diretamente.

Passo 3

Método por deslocamento de franjas (interferometria) — relação com N,\;\lambda,\;\ell:
  • Situação física típica: ao inserir uma lâmina de percurso óptico \ell (espessura percorrida pela luz dentro do meio) em um braço de interferômetro, a diferença de caminho óptico introduzida é (n-1)\ell (diferença entre percurso óptico no meio e no vácuo).
  • Número de franjas N deslocadas é igual à razão entre essa diferença de caminho óptico e o comprimento de onda \lambda:
N=\frac{(n-1)\ell}{\lambda}.
  • Isolando n obtemos a fórmula prática muito usada em provas e laboratórios:
n = 1 + \frac{N\,\lambda}{\ell}.
Aqui a interpretação é clara: N = número de franjas observadas, \lambda = comprimento de onda (normalmente no vácuo), \ell = espessura do meio atravessado.

Passo 4

Método por defasagem de fase \beta — relação com \beta,\;\lambda,\;\ell:
  • Se \beta for a defasagem de fase total acumulada ao atravessar a espessura \ell do meio (a defasagem medida em radianos), então a defasagem adicional causada em relação ao vácuo é
\beta = k_0 (n-1)\ell = \frac{2\pi}{\lambda}(n-1)\ell.
Explicação: k_0=\dfrac{2\pi}{\lambda} é o número de onda de referência; multiplicando por (n-1)\ell obtemos a defasagem extra em radianos.
  • Isolando n dessa equação:
n = 1 + \frac{\beta\,\lambda}{2\pi\,\ell}.
  • Observação: este resultado está coerente com o caso das franjas porque uma defasagem de 2\pi radianos corresponde a uma franja, então \beta = 2\pi N se \beta e N forem ambos medidos para a mesma mudança física.

Passo 5

Relacionamentos entre as várias formas (coerência entre as fórmulas):
  • Se \beta for a defasagem em radianos e N o número de franjas, então
\beta = 2\pi N,
e as fórmulas da Passo 3 e Passo 4 dão a mesma expressão para n:
n = 1 + \frac{N\lambda}{\ell} = 1 + \frac{\beta\lambda}{2\pi\ell}.
  • Se k for o número de onda no meio, então a expressão da Passo 2 dá
n = \frac{k\lambda}{2\pi}.
  • Portanto há três formas padrão, todas compatíveis quando os símbolos têm os significados habituais em óptica.

Passo 6

Resumo final (formas usuais do índice de refração em termos das variáveis pedidas):
  • Se k é o número de onda no meio e \lambda o comprimento de onda de referência:
n = \frac{k\,\lambda}{2\pi}.
  • Se N é o número de franjas deslocadas ao inserir espessura \ell:
n = 1 + \frac{N\,\lambda}{\ell}.
  • Se \beta é a defasagem de fase (em radianos) acumulada ao atravessar a espessura \ell:
n = 1 + \frac{\beta\,\lambda}{2\pi\,\ell}.
Se quiser que eu escreva uma única expressão que envolva todas as letras \beta,\lambda,N,k,\ell simultaneamente, posso fazê-lo assumindo as relações padrão entre elas (por exemplo \beta=2\pi N e k=2\pi n/\lambda); diga apenas qual é o significado preciso que seu enunciado atribui a cada símbolo que você forneceu.

Resposta

n=\dfrac{k\,\lambda}{2\pi}
n=1+\dfrac{N\,\lambda}{\ell}
n=1+\dfrac{\beta\,\lambda}{2\pi\,\ell}

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