Admita que no exercício número 2 a corrente instantânea na entrada da antena seja i_{A}(t)=I \cos \left(2 \pi \times 10^{8} t\right)[A] e que i_{B}(t) seja a corrente instantânea na entrada do receptor. Supondo que para uma defasagem de até 5^{0} se possa considerar que i_{B}(t) \approx i_{A}(t), qual deve ser o comprimento máximo que o cabo ligando antena e receptor pode ter para ser considerado um elemento concentrado?

Passo 1

O enunciado dá a corrente na entrada da antena i_{A}(t)=I\cos\!\left(2\pi\times10^{8}t\right)\,[\mathrm{A}].
Informações e pedido claros:
  • A frequência da senóide é f=10^{8}\\ \mathrm{Hz} (isso vem do fator 2\pi\times10^{8} no argumento do cosseno).
  • É dada a condição para considerar i_{B}(t)\approx i_{A}(t): a defasagem entre elas deve ser no máximo 5^\circ.
  • Pede-se: qual o comprimento máximo L_{\max} do cabo ligando antena e receptor para que o cabo possa ser considerado um elemento concentrado (ou seja, para que a diferença de fase ao longo do cabo seja \leq 5^\circ).
Nenhuma outra informação foi fornecida sobre velocidade de propagação no cabo; ao longo da resolução será explicitado que se assume inicialmente a velocidade da luz no vácuo c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e também será mostrado como adaptar o resultado se o cabo tiver fator de velocidade diferente.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadas passo a passo):
  • Velocidade de propagação v: velocidade com que a onda percorre o cabo, em \mathrm{m/s}. Para um cabo ideal pode-se ter v=c (velocidade da luz no vácuo), mas na prática v=\text{VF}\cdot c, onde \text{VF} é o fator de velocidade do dielétrico do cabo (por ex. \text{VF}\approx0,66 para muitos cabos coaxiais).
  • Comprimento de onda \lambda: distância que a onda percorre em um período. A relação é
\lambda=\frac{v}{f},
onde f é a frequência em \mathrm{Hz}.
  • A defasagem (em radianos) introduzida por um atraso temporal \tau é
\varphi=2\pi f \tau.
Se o atraso \tau é o tempo de propagação ao longo do cabo de comprimento L, então \tau=\dfrac{L}{v}, logo
\varphi=2\pi f\frac{L}{v}.
  • Convertendo \varphi para graus: \varphi_{\text{graus}}=\varphi\cdot\dfrac{180}{\pi}. Substituindo e simplificando obtém-se uma relação direta entre L e \lambda:
\varphi_{\text{graus}}=360^\circ\cdot\frac{L}{\lambda}.
Explicando em palavras: uma volta completa ( 360^\circ) corresponde a um comprimento de onda \lambda; portanto a fração \dfrac{L}{\lambda} da onda corresponde a \,360^\circ\cdot\dfrac{L}{\lambda},.

Passo 3

Usar a condição de limite de fase para obter L_{\max}. Se permitimos uma defasagem máxima \Delta\theta=5^\circ, então da fórmula anterior:
\Delta\theta=360^\circ\cdot\frac{L_{\max}}{\lambda}.
Isolando L_{\max}:
L_{\max}=\lambda\cdot\frac{\Delta\theta}{360^\circ}.
Substituindo \Delta\theta=5^\circ obtemos a forma simples
L_{\max}=\lambda\cdot\frac{5}{360}=\frac{\lambda}{72}.
Comentário: isso é intuitivo — o cabo deve ser menor que 1/72 do comprimento de onda para que a defasagem seja \leq 5^\circ.

Passo 4

Calcular numericamente assumindo v=c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro o comprimento de onda:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{3\times10^{8}}{10^{8}}=3\\ \mathrm{m}.
Agora
L_{\max}=\frac{\lambda}{72}=\frac{3}{72}\\ \mathrm{m}=\frac{1}{24}\\ \mathrm{m}\approx0,041666\ldots\\ \mathrm{m}.
Expressando em centímetros:
L_{\max}\approx4,17\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Generalização prática (importante para a prova):
  • Se o cabo tiver fator de velocidade \text{VF} (ou seja v=\text{VF}\cdot c), então \lambda=\text{VF}\cdot\lambda_{\text{vácuo}}á e
L_{\max}=\frac{\text{VF}\cdot\lambda_{\text{vácuo}}}{72}.á
Exemplo numérico rápido: para \text{VF}=0,66 (coax comum),
L_{\max}\approx\frac{0,66\times3\\ \mathrm{m}}{72}\approx0,0275\\ \mathrm{m}=2,75\\ \mathrm{cm}.
Ou seja: em cabos reais o comprimento máximo costuma ser ainda menor que o valor usando c.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • Conclusão física: para f=10^{8}\\ \mathrm{Hz} e assumindo propagação à velocidade da luz, qualquer cabo com comprimento menor que cerca de 4,2\\ \mathrm{cm} introduz defasagem \leq5^\circ e, portanto, podemos tratar o conjunto como elemento concentrado (corrente praticamente igual nas duas pontas).
  • Dica prática para a prova: memorize a regra derivada L_{\max}=\dfrac{\lambda}{72} para a tolerância de 5^\circ; com isso basta calcular \lambda=v/f e dividir por 72. Vai te salvar tempo sem pânico — você consegue!

Resposta

\;L_{\max}\approx0,0417\\ \mathrm{m}\approx4,17\\ \mathrm{cm}

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