Admita que no exercício número 2 a corrente instantânea na entrada da antena seja
e que
seja a corrente instantânea na entrada do receptor. Supondo que para uma defasagem de até
se possa considerar que
, qual deve ser o comprimento máximo que o cabo ligando antena e receptor pode ter para ser considerado um elemento concentrado?
Passo 1
O enunciado dá a corrente na entrada da antena
.
Informações e pedido claros:
Informações e pedido claros:
- A frequência da senóide é
(isso vem do fator no argumento do cosseno). - É dada a condição para considerar
: a defasagem entre elas deve ser no máximo . - Pede-se: qual o comprimento máximo
do cabo ligando antena e receptor para que o cabo possa ser considerado um elemento concentrado (ou seja, para que a diferença de fase ao longo do cabo seja ).
Nenhuma outra informação foi fornecida sobre velocidade de propagação no cabo; ao longo da resolução será explicitado que se assume inicialmente a velocidade da luz no vácuo
e também será mostrado como adaptar o resultado se o cabo tiver fator de velocidade diferente.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicadas passo a passo):
- Velocidade de propagação
: velocidade com que a onda percorre o cabo, em . Para um cabo ideal pode-se ter (velocidade da luz no vácuo), mas na prática , onde é o fator de velocidade do dielétrico do cabo (por ex. para muitos cabos coaxiais). - Comprimento de onda
: distância que a onda percorre em um período. A relação é
onde
é a frequência em
.
- A defasagem (em radianos) introduzida por um atraso temporal
é
Se o atraso
é o tempo de propagação ao longo do cabo de comprimento
, então
, logo
- Convertendo
para graus: . Substituindo e simplificando obtém-se uma relação direta entre e :
Explicando em palavras: uma volta completa (
) corresponde a um comprimento de onda
; portanto a fração
da onda corresponde a
,.
Passo 3
Usar a condição de limite de fase para obter
. Se permitimos uma defasagem máxima
, então da fórmula anterior:
Isolando
:
Substituindo
obtemos a forma simples
Comentário: isso é intuitivo — o cabo deve ser menor que
do comprimento de onda para que a defasagem seja
.
Passo 4
Calcular numericamente assumindo
.
Primeiro o comprimento de onda:
Primeiro o comprimento de onda:
Agora
Expressando em centímetros:
Passo 5
Generalização prática (importante para a prova):
- Se o cabo tiver fator de velocidade
(ou seja ), então e
Exemplo numérico rápido: para
(coax comum),
Ou seja: em cabos reais o comprimento máximo costuma ser ainda menor que o valor usando
.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova:
- Conclusão física: para
e assumindo propagação à velocidade da luz, qualquer cabo com comprimento menor que cerca de introduz defasagem e, portanto, podemos tratar o conjunto como elemento concentrado (corrente praticamente igual nas duas pontas). - Dica prática para a prova: memorize a regra derivada
para a tolerância de ; com isso basta calcular e dividir por . Vai te salvar tempo sem pânico — você consegue!