Um receptor de FM (Freqüência Modulada) é ligado a sua antena por um cabo de 2[\mathrm{~m}] de comprimento. Considerando que o receptor está sintonizado na freqüência de 100 [MHz], pode-se dizer que as correntes instantâneas na entrada do receptor e na entrada da antena são iguais? Isto é, que o cabo de 2[\mathrm{~m}] é um elemento concentrado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que se quer:
  • Comprimento do cabo: \ell = 2\,[\mathrm{m}].
  • Frequência do sinal: f = 100\,[\mathrm{MHz}].
  • Pergunta: as correntes instantâneas na entrada do receptor e na entrada da antena são iguais? Equivalentemente: o cabo de 2\,[\mathrm{m}] pode ser considerado um elemento concentrado (lumped), onde não há diferença temporal/espacial apreciável entre os sinais nas duas extremidades?

Passo 2

Regra prática para decidir se um componente é “concentrado” (lumped) ou se devemos tratá‑lo como linha de transmissão:
  • Um trecho é aproximadamente concentrado quando seu comprimento \ell é muito pequeno em relação ao comprimento de onda \lambda do sinal. Uma regra de bolso usada em RF é exigir \ell \ll \lambda, tipicamente \ell \lesssim \lambda/10 (ou mais rigorosamente \ell \lesssim \lambda/20 para que efeitos de fase sejam desprezíveis).
    Vou calcular a razão \ell/\lambda para ver se \ell é “muito menor” que \lambda.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda no vácuo (ou ar, aproximando a velocidade da luz): a fórmula é
\lambda = \frac{c}{f},
onde \,c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s} é a velocidade da luz e f é a frequência.
Substituindo,
\lambda = \frac{3\times10^{8}}{100\times10^{6}} = 3\,[\mathrm{m}].
Agora a razão
\frac{\ell}{\lambda}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67.
Comentário: \ell/\lambda\approx0{,}67 é muito maior que 0{,}1. Logo, pelo critério padrão, 2\,[\mathrm{m}] NÃO é “muito menor” que \lambda — o trecho é eletricamente longo e não pode ser tratado como elemento concentrado.

Passo 4

Observação prática importante: em cabos coaxiais a velocidade de propagação é menor que c por causa do dielétrico interno. Define‑se o “velocity factor” \mathrm{VF}, tipicamente 0{,}6 0{,}8 para muitos coaxiais. Se quisermos ser mais realistas:
v = \mathrm{VF}\cdot c.
Para \mathrm{VF}=0{,}66 (valor típico), a \lambda no cabo fica
\lambda_{\text{no cabo}} = \frac{v}{f} = \frac{0{,}66\cdot 3\times10^{8}}{100\times10^{6}}\approx 1{,}98\,[\mathrm{m}].
Com isso \ell/\lambda_{\text{no cabo}}\approx 2/1{,}98\approx 1{,}01. Ou seja, o cabo tem aproximadamente um comprimento de onda inteiro — ainda mais claramente elétrico‑longo. Conclusão: quer assumindo velocidade c quer assumindo um VF típico, o cabo de 2\,[\mathrm{m}] NÃO é um elemento concentrado para 100\,[\mathrm{MHz}].

Passo 5

Consequências físicas — por que isso importa para as correntes instantâneas:
  • Em uma linha de transmissão a onda leva um tempo para percorrer o comprimento. O atraso de propagação é
\tau=\frac{\ell}{v}.
Usando v=c:
\tau=\frac{2}{3\times10^{8}}\approx 6{,}7\times10^{-9}\,[\mathrm{s}]=6{,}7\,[\mathrm{ns}].
Com \mathrm{VF}=0{,}66, \tau\approx 10\,[\mathrm{ns}].
  • Para um sinal senoidal em regime estacionário, esse atraso corresponde a uma defasagem
\varphi = 360^\circ\cdot\frac{\ell}{\lambda}.
Com \ell/\lambda=2/3 (velocidade c) dá \varphi\approx 360^\circ\cdot0{,}6667\approx 240^\circ. Com \mathrm{VF}=0{,}66 fica perto de 360^\circ (≈1 volta), igualmente não negligenciável.
  • Portanto, as correntes instantâneas nas duas pontas NÃO serão iguais: haverá um atraso/defasagem temporal entre a corrente na antena e a corrente na entrada do receptor. Em outras palavras, i_{\text{entrada}}(t) será aproximadamente uma versão atrasada e defasada de i_{\text{antena}}(t).

Passo 6

Casos especiais a notar (para não confundir):
  • Se a linha estiver perfeitamente casada ( Z_L=Z_0) e sem perdas, a amplitude da onda de corrente (valor eficaz ou amplitude complexa) ao longo da linha é constante — logo as amplitudes podem ser iguais, mas a fase varia com a posição. Assim as correntes instantâneas (que dependem de fase) ainda NÃO são iguais: são defasadas por \varphi.
  • Se houver desajuste (reflexões), a forma de onda e a amplitude da corrente variam ao longo da linha (ondas estacionárias), e as correntes nas duas extremidades podem diferir tanto em amplitude quanto em fase.
  • Somente quando \ell for muito pequeno comparado a \lambda (ex.: \ell\lesssim\lambda/10) pode-se aproximar que as correntes instantâneas nas duas extremidades são iguais e tratar o cabo como elemento concentrado.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como determinar rapidamente na hora):
  1. Calcule \lambda=\dfrac{c}{f}.
  2. Compare \ell com \lambda. Se \ell\ll\lambda (regra de bolo: \ell\lesssim\lambda/10), trate como lumped. Caso contrário, trate como linha de transmissão.
  3. Se for linha, lembre‑se: há atraso \tau=\ell/v e defasagem \varphi=360^\circ\cdot\ell/\lambda; correntes instantâneas não são iguais (e amplitude pode variar se houver reflexões).

Resposta

Não. Para f=100\,[\mathrm{MHz}] tem-se \lambda=3\,[\mathrm{m}] e \ell/\lambda=2/3 (ou, com \mathrm{VF}\approx0{,}66, \ell\approx\lambda no cabo), logo o cabo de 2\,[\mathrm{m}] não é um elemento concentrado. As correntes instantâneas nas duas extremidades não são, em geral, iguais (há defasagem temporal e possivelmente diferenças de amplitude se houver reflexões).

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