- Admita que o gráfico de
represente uma superfície própria para a prática do esqui. Admita, ainda, que um esquiador deslize pela superfície sempre na direção de maior declive. Se ele parte do ponto (1,2,2), em que ponto ele tocará o plano
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
- A superfície é
. - O esquiador desliza sempre na direção do maior declive (ou seja, na direção de descida mais íngreme).
- O esquiador parte do ponto
. (Observação: , logo o ponto está sobre a superfície.) - Pede-se: em que ponto o esquiador tocará o plano
(ou seja, o plano )?
Também aparece no enunciado a afirmação
que vou registrar como dado presente, embora não seja necessária para resolver o problema.
Passo 2
Vamos entender a regra física/matemática que dá a direção do movimento do esquiador de forma didática e simples.
- Para uma superfície dada por
, o vetor gradiente no plano é
O gradiente aponta na direção de maior crescimento de
. Portanto, a direção de maior declive (maior descida de
) é a direção oposta ao gradiente, ou seja
.
- Na prática, isso significa que a projeção da trajetória do esquiador no plano
satisfaz a equação diferencial (campo de direções)
onde
e
são derivadas em relação a um parâmetro
(tempo, por exemplo). Essa escolha é natural porque estamos descrevendo como as coordenadas
mudam conforme o esquiador segue a direção do maior declive.
- Agora calculemos as derivadas parciais de
:
Portanto o campo de direções é
Resumo: a trajetória projetada no plano
resolve o sistema
com condição inicial
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de forma sistemática.
Começo por eliminar
Mas da segunda equação
. Substituindo:
Assim obtemos a equação diferencial ordinária de segunda ordem
A solução geral desta equação linear com coeficientes constantes é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Usamos as condições iniciais:
Também precisamos de
. Pela primeira equação
. Calculando
:
logo em
:
Agora resolvemos o sistema para
e
:
Somando as duas equações:
.
Substituindo em
obtém-se
.
Portanto
Passo 4
Encontremos
. Podemos usar a relação
, ou resolver a ODE para
diretamente. Vou usar
.
Calculamos
usando a expressão de
:
Corrigindo com cuidado: derivando
obtemos
Logo
Verificação rápida das condições iniciais: em
,
batem com a condição inicial.
Passo 5
Agora determinamos quando o esquiador toca o plano
. Como
, tocar o plano
significa encontrar o menor
tal que
Calculemos explicitamente o produto
com as expressões encontradas:
Multiplicando (faça passo a passo):
Note que os termos mistos em
se cancelam, portanto
Para ter
é necessário e suficiente que
, ou seja
Agora calculemos as coordenadas em
. Observe que
Substituindo em
e
:
Portanto o ponto em que toca o plano
é