Exercício 64
a) Determine a representação parametrizada do toro obtido ao girar pelo eixo
o círculo no plano
com centro (
) e raio
.
Dica: Tome-se como parâmetros os ângulos
e a mostrados na figura. Ou seja, obtenha
onde
.
b) Com a parametrização acima, calcule as derivadas parciais
e
.
c) Com as derivadas calculadas no item anterior, calcule o vetor normal à superfície e sua norma, isto é,
e
.
d) Lembrando que a área de uma superfície parametrizada
com domínio
é dada por
, calcule a área do toro.
(Obs:Esse resultado também pode ser interpretado geometricamente como o produto entre o comprimento do círculo gerador
e o comprimento da trajetória do seu centro
.)
Dica: Tome-se como parâmetros os ângulos
b) Com a parametrização acima, calcule as derivadas parciais
c) Com as derivadas calculadas no item anterior, calcule o vetor normal à superfície e sua norma, isto é,
d) Lembrando que a área de uma superfície parametrizada
(Obs:Esse resultado também pode ser interpretado geometricamente como o produto entre o comprimento do círculo gerador
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Um círculo no plano
(ou seja, em ) com centro em e raio , com . - A superfície obtida gira-se esse círculo em torno do eixo
, formando um toro. - Os parâmetros indicados são os ângulos
(rotação em torno do eixo ) e (ângulo no círculo gerador). O domínio pedido é .
- Um círculo no plano
-
O que o exercício pede:
(a) Obter a parametrizaçãodo toro com os parâmetros citados.
(b) Calcular as derivadas parciaise .
(c) Calcular o vetor normal à superfíciee sua norma .
(d) Calcular a área da superfície usando.
Passo 2
Construção da parametrização (aula curta e prática).
- Primeiro, parametrizar o círculo gerador antes da rotação. Como o círculo está no plano
Aqui
dá o ponto mais à direita do círculo (mais próximo do eixo
).
- Agora rodamos esse ponto ao redor do eixo
por um ângulo . A rotação em torno de transforma em . Como , a rotação simplifica para multiplicar por e nas coordenadas .
Portanto a parametrização do toro é
com domínio
Explicando:
é o ângulo de rotação em torno de
(circunferência grande),
o ângulo ao redor do círculo gerador (circunferência pequena).]
Passo 3
Cálculo de
(derivada parcial em relação a
).
Para simplificar a notação temporária, defino
Assim
.
Derivando componente a componente em relação a
(lembrando
é tratado como constante quando se deriva em
):
Logo
Passo 4
Cálculo de
(derivada parcial em relação a
).
Agora derivamos componente a componente em relação a
. Lembre que
então
.
Derivadas:
Assim
Passo 5
Significado geométrico do produto vetorial e cálculo de
.
- Breve aula: Para uma superfície parametrizada por
, o vetor é um vetor normal à superfície cujo módulo mede a área do paralelogramo gerado por e — ou seja, é o fator de escala (Jacobeano) que aparece na integral de área.
Agora calculo o produto vetorial. Use as expressões já obtidas com
:
Calculo componente a componente (determinante):
Juntando:
Observação: o vetor dentro dos parênteses tem norma
(porque
), então o produto vetorial é simplesmente
vezes um vetor unitário normal à superfície.]
Passo 6
Cálculo da norma
.
Pelo resultado anterior,
Usando
e
,
Portanto o elemento de área da superfície é
Passo 7
Cálculo da área do toro (integração).
A área da superfície é
Faço a integral interna (em
) primeiro:
Multiplicando por
e integrando em
:
Interpretação geométrica (curta): isso coincide com o produto do comprimento do círculo gerador
pelo comprimento da trajetória do seu centro
, isto é
.
Resposta
(a)
(b)
\n
\n
(c)
\n
\n
(d)