Exercício 64

a) Determine a representação parametrizada do toro obtido ao girar pelo eixo z o círculo no plano x z com centro ( b, 0,0 ) e raio a<b.
Dica: Tome-se como parâmetros os ângulos \theta e a mostrados na figura. Ou seja, obtenha r(\theta, \alpha)=(x(\theta, \alpha), y(\theta, \alpha), z(\theta, \alpha)) onde D=\{(\theta, \alpha): 0 \leq \theta \leq 2 \pi \mathrm{e} 0 \leq \alpha \leq 2 \pi\}.
b) Com a parametrização acima, calcule as derivadas parciais r_{\theta} e r_{\alpha}.
c) Com as derivadas calculadas no item anterior, calcule o vetor normal à superfície e sua norma, isto é, r_{\theta} \times r_{\alpha} e \left\|r_{\theta} \times r_{\alpha}\right\|.
d) Lembrando que a área de uma superfície parametrizada S com domínio D é dada por A(S)=\iint_{D}\left\|r_{\theta} \times r_{\mathrm{o}}\right\| d A, calcule a área do toro.
(Obs:Esse resultado também pode ser interpretado geometricamente como o produto entre o comprimento do círculo gerador (2 \pi a) e o comprimento da trajetória do seu centro (2 \pi b).)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um círculo no plano x z (ou seja, em y=0) com centro em (b,0,0) e raio a, com 0<a<b.
    • A superfície obtida gira-se esse círculo em torno do eixo z, formando um toro.
    • Os parâmetros indicados são os ângulos \theta (rotação em torno do eixo z) e \alpha (ângulo no círculo gerador). O domínio pedido é D=\{(\theta,\alpha): 0\le \theta\le 2\pi,\;0\le \alpha\le 2\pi\}.
  • O que o exercício pede:
    (a) Obter a parametrização r(\theta,\alpha)=(x(\theta,\alpha),y(\theta,\alpha),z(\theta,\alpha)) do toro com os parâmetros \theta,\alpha citados.
    (b) Calcular as derivadas parciais r_{\theta} e r_{\alpha}.
    (c) Calcular o vetor normal à superfície r_{\theta}\times r_{\alpha} e sua norma \left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|.
    (d) Calcular a área da superfície usando A(S)=\iint_{D}\left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|\,dA.

Passo 2

Construção da parametrização (aula curta e prática).
  • Primeiro, parametrizar o círculo gerador antes da rotação. Como o círculo está no plano y=0\), com centro em \((b,0,0)\) e raio \(a\), podemos usar o parâmetro \(\alpha\) para escrever seus pontos: \[\begin{cases} x_{\text{círc}}(\alpha)=b+a\cos\alpha,\\[4pt] y_{\text{círc}}(\alpha)=0,\\[4pt] z_{\text{círc}}(\alpha)=a\sin\alpha, \end{cases} \qquad 0\le\alpha\le 2\pi.
Aqui \alpha\] é o ângulo que percorre o círculo gerador: \(\alpha=0 dá o ponto mais à direita do círculo (mais próximo do eixo +x).
  • Agora rodamos esse ponto ao redor do eixo z por um ângulo \theta. A rotação em torno de z transforma (x,y) em (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta). Como y_{\text{círc}}(\alpha)=0í, a rotação simplifica para multiplicar x_{\text{círc}}(\alpha)í por \cos\theta e \sin\theta nas coordenadas x,y.
Portanto a parametrização do toro é
r(\theta,\alpha)=\bigl((b+a\cos\alpha)\cos\theta,\; (b+a\cos\alpha)\sin\theta,\; a\sin\alpha\bigr),
com domínio
D=\{(\theta,\alpha)\mid 0\le\theta\le 2\pi,\\\ 0\le\alpha\le 2\pi\}.
Explicando: \theta é o ângulo de rotação em torno de z (circunferência grande), \alpha o ângulo ao redor do círculo gerador (circunferência pequena).]

Passo 3

Cálculo de r_{\theta} (derivada parcial em relação a \theta).
Para simplificar a notação temporária, defino
R(\alpha):=b+a\cos\alpha.
Assim r(\theta,\alpha)=\bigl(R(\alpha)\cos\theta,\; R(\alpha)\sin\theta,\; a\sin\alpha\bigr).
Derivando componente a componente em relação a \theta (lembrando R(\alpha) é tratado como constante quando se deriva em \theta):
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(R\cos\theta\bigr)&=-R\sin\theta,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(R\sin\theta\bigr)&=R\cos\theta,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(a\sin\alpha\bigr)&=0. \end{aligned}
Logo
r_{\theta}(\theta,\alpha)=\bigl(-R(\alpha)\sin\theta,\; R(\alpha)\cos\theta,\; 0\bigr).]

Passo 4

Cálculo de r_{\alpha} (derivada parcial em relação a \alpha).
Agora derivamos componente a componente em relação a \alpha. Lembre que R(\alpha)=b+a\cos\alpha então R'(\alpha)=-a\sin\alpha.
Derivadas:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\alpha}\bigl(R(\alpha)\cos\theta\bigr)&=R'(\alpha)\cos\theta = -a\sin\alpha\cos\theta,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial\alpha}\bigl(R(\alpha)\sin\theta\bigr)&=R'(\alpha)\sin\theta = -a\sin\alpha\sin\theta,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial\alpha}\bigl(a\sin\alpha\bigr)&=a\cos\alpha. \end{aligned}
Assim
r_{\alpha}(\theta,\alpha)=\bigl(-a\sin\alpha\cos\theta,\; -a\sin\alpha\sin\theta,\; a\cos\alpha\bigr).]

Passo 5

Significado geométrico do produto vetorial e cálculo de r_{\theta}\times r_{\alpha}.
  • Breve aula: Para uma superfície parametrizada por r(\theta,\alpha), o vetor r_{\theta}\times r_{\alpha} é um vetor normal à superfície cujo módulo \|r_{\theta}\times r_{\alpha}\| mede a área do paralelogramo gerado por r_{\theta} e r_{\alpha} — ou seja, é o fator de escala (Jacobeano) que aparece na integral de área.
Agora calculo o produto vetorial. Use as expressões já obtidas com R(\alpha)=b+a\cos\alpha:
r_{\theta}=\bigl(-R\sin\theta,\; R\cos\theta,\; 0\bigr), \qquad r_{\alpha}=\bigl(-a\sin\alpha\cos\theta,\; -a\sin\alpha\sin\theta,\; a\cos\alpha\bigr).
Calculo componente a componente (determinante):
\begin{aligned} (r_{\theta}\times r_{\alpha})_x &= r_{\theta,y}\,r_{\alpha,z}-r_{\theta,z}\,r_{\alpha,y} = R\cos\theta\cdot a\cos\alpha - 0\cdot(-a\sin\alpha\sin\theta)\\[4pt] &= aR\cos\alpha\cos\theta, \\[6pt] (r_{\theta}\times r_{\alpha})_y &=-\bigl(r_{\theta,x}\,r_{\alpha,z}-r_{\theta,z}\,r_{\alpha,x}\bigr) = -\bigl((-R\sin\theta)\cdot a\cos\alpha - 0\cdot(-a\sin\alpha\cos\theta)\bigr)\\[4pt] &= aR\cos\alpha\sin\theta, \\[6pt] (r_{\theta}\times r_{\alpha})_z &= r_{\theta,x}\,r_{\alpha,y}-r_{\theta,y}\,r_{\alpha,x}\\[4pt] &= (-R\sin\theta)\cdot(-a\sin\alpha\sin\theta) - (R\cos\theta)\cdot(-a\sin\alpha\cos\theta)\\[4pt] &= aR\sin\alpha\bigl(\sin^2\theta+\cos^2\theta\bigr)=aR\sin\alpha. \end{aligned}
Juntando:
r_{\theta}\times r_{\alpha}(\theta,\alpha) = aR(\alpha)\bigl(\cos\alpha\cos\theta,\; \cos\alpha\sin\theta,\; \sin\alpha\bigr).
Observação: o vetor dentro dos parênteses tem norma 1 (porque \cos^2\alpha\cos^2\theta+\cos^2\alpha\sin^2\theta+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1), então o produto vetorial é simplesmente aR vezes um vetor unitário normal à superfície.]

Passo 6

Cálculo da norma \left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|.
Pelo resultado anterior,
\left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\| = aR(\alpha)\sqrt{\cos^2\alpha\cos^2\theta+\cos^2\alpha\sin^2\theta+\sin^2\alpha}.
Usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,
\left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\| = aR(\alpha)\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=aR(\alpha)=a\bigl(b+a\cos\alpha\bigr).
Portanto o elemento de área da superfície é
dS=\left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|\,d\theta\,d\alpha = a\bigl(b+a\cos\alpha\bigr)\,d\theta\,d\alpha.

Passo 7

Cálculo da área do toro (integração).
A área da superfície é
A(S)=\iint_{D}\left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|\,d\theta\,d\alpha =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi} a\bigl(b+a\cos\alpha\bigr)\,d\alpha\,d\theta.
Faço a integral interna (em \alpha) primeiro:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(b+a\cos\alpha\bigr)\,d\alpha = b\int_{0}^{2\pi}d\alpha + a\int_{0}^{2\pi}\cos\alpha\,d\alpha = b(2\pi) + a\cdot 0 = 2\pi b.
Multiplicando por a e integrando em \theta:
A(S)=\int_{0}^{2\pi} a\cdot(2\pi b)\,d\theta = 2\pi a b \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi a b\cdot 2\pi = 4\pi^{2} a b.
Interpretação geométrica (curta): isso coincide com o produto do comprimento do círculo gerador (2\pi a) pelo comprimento da trajetória do seu centro (2\pi b), isto é A=(2\pi a)(2\pi b)=4\pi^{2}ab.

Resposta

(a) r(\theta,\alpha)=\bigl((b+a\cos\alpha)\cos\theta,\; (b+a\cos\alpha)\sin\theta,\; a\sin\alpha\bigr),\quad 0\le\theta\le2\pi,\\\ 0\le\alpha\le2\pi.
(b) r_{\theta}(\theta,\alpha)=\bigl(-(b+a\cos\alpha)\sin\theta,\; (b+a\cos\alpha)\cos\theta,\; 0\bigr),
\n r_{\alpha}(\theta,\alpha)=\bigl(-a\sin\alpha\cos\theta,\; -a\sin\alpha\sin\theta,\; a\cos\alpha\bigr).
(c) r_{\theta}\times r_{\alpha}(\theta,\alpha)=a(b+a\cos\alpha)\bigl(\cos\alpha\cos\theta,\; \cos\alpha\sin\theta,\; \sin\alpha\bigr),
\n \left\|r_{\theta}\times r_{\alpha}\right\|=a(b+a\cos\alpha).
(d) A(S)=4\pi^{2}ab.

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