Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas: (i) a taxa de variação máxima de
no ponto dado e (ii) a direção em que essa taxa máxima ocorre.
Observação importante: o enunciado refere-se a “no ponto dado” mas nenhum ponto específico foi informado. Para não pedir mais informação, vou calcular a expressão geral da taxa máxima e da direção em um ponto arbitrário pertencente ao domínio de
. O domínio exige que
Observação importante: o enunciado refere-se a “no ponto dado” mas nenhum ponto específico foi informado. Para não pedir mais informação, vou calcular a expressão geral da taxa máxima e da direção em um ponto arbitrário
Passo 2
Explicando a ideia-chave (passo-a-passo, estilo aula): a taxa de variação direcional de
na direção de um vetor unitário
no ponto
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
naquele ponto e
:
Uma propriedade fundamental (que vamos usar) é que, para um vetor fixo
, o produto escalar
é maximizado quando
tem a mesma direção de
; nesse caso o valor máximo é o comprimento (norma) de
:
e a direção que atinge o máximo é a direção do próprio
, isto é,
. Vou calcular
explicitamente e então a norma e a unidade direcional.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Como
com
, pela regra da cadeia para derivadas:
Agora as derivadas de
:
Portanto o gradiente é
Para o ponto específico
isto dá
Passo 4
Calcular a norma (comprimento) do gradiente, que será a taxa de variação máxima. Primeiro a norma do numerador:
Fatorando
sob a raiz:
Como o denominador de
é
, a norma do gradiente é
Esse valor é a taxa de variação máxima de
no ponto
.
Passo 5
Determinar a direção unitária onde a taxa máxima ocorre. A direção (vetor unitário) é a normalização do gradiente:
Substituindo
e simplificando (os fatores escalares cancelam), temos uma forma mais simples:
Portanto essa é a direção unitária (apontando na direção de maior crescimento de
). Note que o sinal negativo indica que, se
forem positivos, a direção de aumento é no sentido negativo dos eixos — isso vem do fato da função
decrescer quando
se afastam da origem.
Passo 6
Resumo prático (como usar na prova): para qualquer ponto dado
no domínio, calcule o gradiente conforme no Passo 3 e então:
- taxa de variação máxima = norma do gradiente (Passo 4);
- direção = gradiente normalizado (Passo 5).
Se for pedido em um ponto numérico, basta substituirnas fórmulas acima e simplificar.
Resposta
Taxa de variação máxima:
\
Direção em que isso ocorre:
Direção em que isso ocorre: