Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\ln \left(16-4 x^{2}-4 y^{2}-z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=\ln\!\bigl(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}\bigr)
e pede duas coisas: (i) a taxa de variação máxima de f no ponto dado e (ii) a direção em que essa taxa máxima ocorre.
Observação importante: o enunciado refere-se a “no ponto dado” mas nenhum ponto específico foi informado. Para não pedir mais informação, vou calcular a expressão geral da taxa máxima e da direção em um ponto arbitrário (x_0,y_0,z_0) pertencente ao domínio de f. O domínio exige que
16-4x_0^{2}-4y_0^{2}-z_0^{2}>0.

Passo 2

Explicando a ideia-chave (passo-a-passo, estilo aula): a taxa de variação direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} no ponto (x_0,y_0,z_0) é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f naquele ponto e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot\mathbf{u}.
Uma propriedade fundamental (que vamos usar) é que, para um vetor fixo \nabla f, o produto escalar \nabla f\cdot\mathbf{u} é maximizado quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f; nesse caso o valor máximo é o comprimento (norma) de \nabla f:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0,z_0)=\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\|,
e a direção que atinge o máximo é a direção do próprio \nabla f, isto é, \mathbf{u}=\dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}. Vou calcular \nabla f explicitamente e então a norma e a unidade direcional.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Como f=\ln(g) com g(x,y,z)=16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}, pela regra da cadeia para derivadas:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial y},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial z}.
Agora as derivadas de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=-8x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-8y,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=-2z.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\frac{1}{16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2}}\;(-8x,\,-8y,\,-2z).
Para o ponto específico (x_0,y_0,z_0) isto dá
\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\frac{(-8x_0,\,-8y_0,\,-2z_0)}{16-4x_0^{2}-4y_0^{2}-z_0^{2}}.

Passo 4

Calcular a norma (comprimento) do gradiente, que será a taxa de variação máxima. Primeiro a norma do numerador:
\sqrt{(-8x_0)^{2}+(-8y_0)^{2}+(-2z_0)^{2}} =\sqrt{64x_0^{2}+64y_0^{2}+4z_0^{2}}.
Fatorando 4 sob a raiz:
\sqrt{64x_0^{2}+64y_0^{2}+4z_0^{2}}=2\sqrt{16x_0^{2}+16y_0^{2}+z_0^{2}}.
Como o denominador de \nabla f é 16-4x_0^{2}-4y_0^{2}-z_0^{2}, a norma do gradiente é
\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\| =\frac{2\sqrt{16x_0^{2}+16y_0^{2}+z_0^{2}}}{16-4x_0^{2}-4y_0^{2}-z_0^{2}}.
Esse valor é a taxa de variação máxima de f no ponto (x_0,y_0,z_0).

Passo 5

Determinar a direção unitária onde a taxa máxima ocorre. A direção (vetor unitário) é a normalização do gradiente:
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(x_0,y_0,z_0)}{\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\|}.á
Substituindo \nabla f e simplificando (os fatores escalares cancelam), temos uma forma mais simples:
\mathbf{u}_{\text{máx}} =\frac{(-8x_0,-8y_0,-2z_0)}{\sqrt{64x_0^{2}+64y_0^{2}+4z_0^{2}}} =\frac{(-4x_0,-4y_0,-z_0)}{\sqrt{16x_0^{2}+16y_0^{2}+z_0^{2}}}.á
Portanto essa é a direção unitária (apontando na direção de maior crescimento de f). Note que o sinal negativo indica que, se x_0,y_0,z_0 forem positivos, a direção de aumento é no sentido negativo dos eixos — isso vem do fato da função \ln(16-4x^2-4y^2-z^2) decrescer quando x,y,z se afastam da origem.

Passo 6

Resumo prático (como usar na prova): para qualquer ponto dado (x_0,y_0,z_0) no domínio, calcule o gradiente conforme no Passo 3 e então:
  • taxa de variação máxima = norma do gradiente (Passo 4);
  • direção = gradiente normalizado (Passo 5).
    Se for pedido em um ponto numérico, basta substituir (x_0,y_0,z_0) nas fórmulas acima e simplificar.

Resposta

Taxa de variação máxima: \displaystyle \frac{2\sqrt{16x_0^{2}+16y_0^{2}+z_0^{2}}}{16-4x_0^{2}-4y_0^{2}-z_0^{2}}\
Direção em que isso ocorre: \displaystyle \frac{(-4x_0,-4y_0,-z_0)}{\sqrt{16x_0^{2}+16y_0^{2}+z_0^{2}}}

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