Admita que para todo (x, y) in D(f), (domínio de f ),
d fd x-yx d fd y=0
Mostre que g(t)=(t, 2t), com t>0, é constante.

Passo 1

O exercício diz que a função f(x,y) satisfaz a equação em derivadas parciais partial fpartial x-yxpartial fpartial y=0. Precisamos mostrar que a função escalar g(t)=fl(t,tfrac2tr), para t>0, é constante. Vamos usar a regra da cadeia e a condição dada para provar que g'(t)=0.

Passo 2

Definimos g(t)=fl(t,tfrac2tr). Para achar g'(t), aplicamos a regra da cadeia: as variáveis x e y dependem de t por x(t)=t e y(t)=2/t.
Pela regra da cadeia, obtemos
g'(t)=partial fpartial x(x(t),y(t))cdot x'(t)+partial fpartial y(x(t),y(t))cdot y'(t)

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=1, y'(t)=ddtl(2tr)=-2t^2

Passo 4

Substituindo em g'(t):
$$g’(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t,\tfrac{2}{t}\bigr)\cdot1+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t,\tfrac{2}{t}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{2}{t^2}\Bigr)
=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{2}{t^2}\frac{\partial f}{\partial y},$$

Passo 5

mas note que na curva y=2/t temos y/x=(2/t)/t=2/t^2. Então a condição partial fpartial x-yxpartial fpartial y=0 vira exatamente
partial fpartial x-2t^2partial fpartial y=0

Passo 6

Portanto g'(t)=0 para todo t>0. Isso mostra que g(t) é constante no intervalo considerado.

Resposta

A função g(t)=fl(t,tfrac2tr) tem derivada nula e, portanto, é constante.

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