Admita que para todo
, (domínio de
),
Mostre que
, com
, é constante.
Passo 1
O exercício diz que a função f(x,y) satisfaz a equação em derivadas parciais
. Precisamos mostrar que a função escalar
, para
, é constante. Vamos usar a regra da cadeia e a condição dada para provar que
.
Passo 2
Definimos
. Para achar
, aplicamos a regra da cadeia: as variáveis
e
dependem de
por
e
.
Pela regra da cadeia, obtemos
Pela regra da cadeia, obtemos
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 4
Substituindo em
:
$$g’(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t,\tfrac{2}{t}\bigr)\cdot1+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t,\tfrac{2}{t}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{2}{t^2}\Bigr)
=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{2}{t^2}\frac{\partial f}{\partial y},$$
Passo 5
mas note que na curva
temos
. Então a condição
vira exatamente
Passo 6
Portanto
para todo
. Isso mostra que
é constante no intervalo considerado.
Resposta
A função
tem derivada nula e, portanto, é constante.