Uma partícula p se move ao longo do eixo x de modo que sua aceleração em qualquer tempo t >= 0 é dada por: a(t)=16-24 t. Encontre a posição x da partícula, medida a partir da origem 0 , em qualquer tempo t>0, assumindo que inicialmente (t=0) ela esta localizada em x=2 e move-se com uma velocidade v=-5. R: x(t)=8 t^2-4 t^3-5 t+2, t>0

Passo 1

A questão apresenta um movimento retilíneo com aceleração conhecida em função do tempo, ou seja, a(t)=16-24t para t>=0. Precisamos encontrar a posição x(t) a partir da origem, usando as condições iniciais v(0)=-5 e x(0)=2. Vamos usar as relações de cinemática em que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Começamos integrando a aceleração para obter a velocidade. Como a(t)=dvdt, temos:
v(t)=integral (16-24t),dt = 16t - 12t^2 + C1
Para determinar C1, usamos a condição v(0)=-5:
v(0)=C1=-5
Logo,
v(t)=16t - 12t^2 -5

Passo 3

Agora integramos v(t) para achar a posição. Como v(t)=dxdt, obtemos:
x(t)=integral (16t - 12t^2 -5),dt = 8t^2 -4t^3 -5t + C2
Usando x(0)=2 para achar C2, temos
x(0)=C2=2
Assim,
x(t)=8t^2 -4t^3 -5t +2

Resposta

x(t)=8t{2}-4t{3}-5t+2, ; t>0

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