Seja
f(x, y)=lll 2 x^4x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Se possível, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f em (0,0, f(0,0)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo diferencial, especificamente de encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a diferenciabilidade da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto em que queremos encontrar o plano tangente. Sabemos que , e pela definição da função. Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Para achar a equação do plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Essas derivadas nos darão as inclinações do plano nas direções e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a fx(0,0) = limh to 0 2h^4h^2 + 0^2 - 0h = limh to 0 2h^4h^3 = limh to 0 2h = 0 no ponto . A derivada parcial de em relação a é definida por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a fy(0,0) = limk to 0 2 cdot 0^40^2 + k^2 - 0k = limk to 0 0k = 0 no ponto . A derivada parcial de em relação a é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) é:
z = 0 + 0 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 0) z = 0
Substituindo e as derivadas calculadas:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é simplesmente .

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