Seja
Se possível, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo diferencial, especificamente de encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a diferenciabilidade da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto em que queremos encontrar o plano tangente. Sabemos que
, e
pela definição da função. Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Para achar a equação do plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Essas derivadas nos darão as inclinações do plano nas direções
e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial de
em relação a
é definida por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em
é:
Substituindo
e as derivadas calculadas:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é simplesmente
.