Admite-se que 80 % dos adultos de certa região sejam alfabetizados. Nessas condições, qual é a probabilidade de, entre 5 pessoas escolhidas ao acaso, encontrar 2 alfabetizados e 3 analfabetos? Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 2 analfabetos na amostra de 5 adultos? Qual é a probabilidade de encontrar mais de 100 analfabetos em uma amostra aleatória de 400 pessoas? Use a aproximação normal da distribuição binomial para responder à terceira questão.

Passo 1

O enunciado diz que a proporção de adultos alfabetizados é p=0,8 (logo de analfabetos q=1-p=0,2). Precisamos usar a distribuição binomial para responder às duas primeiras partes (com n=5) e, na terceira parte, aproximar a binomial por uma normal (com n=400 e p=0,2 para o número de analfabetos).

Passo 2

Para encontrar a probabilidade de exatamente 2 alfabetizados (e portanto 3 analfabetos) em n=5, usamos
P(X=2)=binom52,p^2,q^3
com p=0,8 e q=0,2. Logo,
P(X=2)=binom52(0,8)^2(0,2)^3 =10cdot0,64cdot0,008=0,0512

Passo 3

Para achar a probabilidade de “pelo menos 2 analfabetos” em n=5, definimos Y = número de analfabetos simBin(5,0,2). Então
P(Y>=2)=1-l[P(Y=0)+P(Y=1)r]
Calculamos
P(Y=0)=binom50(0,2)^0(0,8)^5=0,8^5=0,32768, P(Y=1)=binom51(0,2)^1(0,8)^4=5cdot0,2cdot0,4096=0,4096,
portanto
P(Y>=2)=1-(0,32768+0,4096)=0,26272

Passo 4

Na terceira parte temos Z = número de analfabetos em n=400, com p=0,2. Então mu=np=80 e sigma=raiznpq=raiz400cdot0,2cdot0,8=8. Queremos
P(Z>100)approx Pl(Znormal>100,5-808r) =1-Phil(20,58r) =1-Phi(2,5625)
Pela tabela normal, Phi(2,5625)approx0,9948, logo
P(Z>100)approx0,0052

Resposta

1) 0,0512 2) 0,26272 3) 0,0052

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