Exercício 69. Calcule
\nabla f(x, y)
sendo
f(x, y)=xy

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=xy. Isso significa calcular
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Para isso, vamos usar as regras de derivada parcial, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Para partial fpartial x, consideramos y constante e derivamos
f(x,y)=xy=xcdot y^-1
em relação a x. Como y^-1 é constante,
partial fpartial x=1cdot y^-1=1y

Passo 3

Para partial fpartial y, consideramos x constante e escrevemos
f(x,y)=xcdot y^-1
Aplicando a regra da potência em y^-1, obtemos
partial fpartial y =xcdot(-1),y^-2 =-xy^2

Passo 4

Reunindo as derivadas parciais, o gradiente fica
nabla f(x,y) =l(1y,,-xy^2r)

Resposta

nabla f(x,y)=l(1y,,-xy^2r)

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