Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
w=x sen(x^2 y)

Passo 1

O enunciado dá a função
w(x,y)=xsinl(x^2yr)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem:
wxx, wxy, wyx e wyy.
Para resolver vamos usar a regra do produto (para xcdotsin(cdot)) e a regra da cadeia (para sin(x^2y)).

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a x:
wx = partialpartial xl[xsin(x^2y)r] = sin(x^2y) + xcos(x^2y)cdotpartialpartial x(x^2y) = sin(x^2y) + xcos(x^2y)cdot(2xy)
boxedwx = sin(x^2y) + 2x^2ycos(x^2y)
Derivando em relação a y:
wy = partialpartial yl[xsin(x^2y)r] = xcos(x^2y)cdotpartialpartial y(x^2y) = xcos(x^2y)cdot x^2
boxedwy = x^3cos(x^2y)

Passo 3

Agora wxx=partialpartial x(wx).
Começando de
wx=sin(x^2y)+2x^2ycos(x^2y), temos
  1. partialpartial xsin(x^2y) = cos(x^2y)cdot 2xy.
  2. Para 2x^2ycos(x^2y), uso produto:
    • derivada de 2x^2y é 4xy,
    • derivada de cos(x^2y) é -sin(x^2y)cdot2xy.
Logo
wxx = 2xycos(x^2y) + l[4xycos(x^2y) + 2x^2yl(-2xysin(x^2y)r)r] = 6xycos(x^2y) - 4x^3y^2sin(x^2y)

Passo 4

Agora wxy=partialpartial y(wx).
Partindo de wx=sin(x^2y)+2x^2ycos(x^2y):
  1. partialpartial ysin(x^2y) = cos(x^2y)cdot x^2.
  2. Para 2x^2ycos(x^2y), produto em y:
    • derivada de 2x^2y é 2x^2,
    • derivada de cos(x^2y) é -sin(x^2y)cdot x^2.
Logo
wxy = x^2cos(x^2y) + l[2x^2cos(x^2y) + 2x^2y(-x^2sin(x^2y))r] = 3x^2cos(x^2y) - 2x^4ysin(x^2y)
Como as derivadas cruzadas coincidem (função é C^2),
boxedwyx=wxy=3x^2cos(x^2y) - 2x^4ysin(x^2y)

Passo 5

Por fim wyy=partialpartial y(wy).
Como wy=x^3cos(x^2y), temos
wyy = x^3cdotpartialpartial ycos(x^2y) = x^3l[-sin(x^2y)cdot x^2r] = -x^5sin(x^2y)

Resposta

wxx = 6xycos(x^2y) - 4x^3y^2sin(x^2y),
wxy = wyx = 3x^2cos(x^2y) - 2x^4ysin(x^2y),
wyy = -,x^5sin(x^2y)

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