Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
.
Para resolver vamos usar a regra do produto (para ) e a regra da cadeia (para
).
Para resolver vamos usar a regra do produto (para
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora
.
Começando de
, temos
Começando de
-
. -
Para
, uso produto: - derivada de
é , - derivada de
é .
- derivada de
Logo
Passo 4
Agora
.
Partindo de :
Partindo de
-
. -
Para
, produto em : - derivada de
é , - derivada de
é .
- derivada de
Logo
Como as derivadas cruzadas coincidem (função é
),
Passo 5
Por fim
.
Como , temos
Como