- Admitindo conhecido o resultado do Problema 14, demonstrar que qualquer subgrupo de
tem ordem no máximo igual a 12 .
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que qualquer subgrupo de
tem ordem no máximo igual a
.
Informações relevantes que vamos usar (admitidas ou bem conhecidas):
-
. - Admitir o resultado do Problema 14:
é simples (isto é, não tem subgrupos normais próprios diferentes de e de — esta hipótese foi pedida para ser assumida). - Teorema de Lagrange: se
então divide . - Fato padrão sobre ação de grupos: se
age por permutações sobre um conjunto de tamanho transitivamente, obtemos um homomorfismo . O núcleo desse homomorfismo é a interseção de todas as conjugações de um estabilizador (chamada core do estabilizador) e é um subgrupo normal de .
O enunciado, portanto, pede que mostremos que se
é qualquer subgrupo próprio de
então
.
Passo 2
Estratégia global (sem resolver ainda): usar a ação por permutações nos cosets de
para obter um homomorfismo
, onde
é o índice de
em
. Explicar por que um índice pequeno levaria a uma contradição com a simplicidade de
. Em seguida converter essa informação sobre índices em uma cota superior para
.
Antes de aplicar, vamos revisar cuidadosamente o que é o índice e a ação em cosets.
Passo 3
Definição/lemmas que vamos usar (explicado com calma):
- Índice: para
, o índice é o número de cosets laterais de em . Pela definição, , logo
Aqui
é um inteiro
. Se
é próprio, então
.
- Ação por permutações nos cosets:
age por translação à esquerda no conjunto dos cosets à esquerda . Esta ação dá um homomorfismo
onde
. O núcleo
é a interseção de todos os conjugados de
em
(chamada core de
) e é um subgrupo normal de
.
Passo 4
Consequências do homomorfismo
:
- A imagem
é um subgrupo de . Pelo Teorema do Homomorfismo, é isomorfo a , logo
Mas
. Em particular, se
então
embede em
(isto é,
isomorfo a subgrupo de
), e assim
divide
e, em particular,
.
- Se
então é um subgrupo normal não trivial de . Como assumimos simples, isso é impossível. Portanto, para que não haja contradição com a simplicidade, a única possibilidade é que (ou seja, a ação tem núcleo trivial), ou seja, ou a ação injeta em ou ocorre contradição com a simplicidade. Em suma: para qualquer subgrupo próprio o núcleo não pode ser não trivial; portanto a única possibilidade consistente é que a ação injete em . (Ver explicação seguinte sobre valores de .)
Passo 5
Agora analisamos os possíveis valores de
.
Se a ação é injetora então
é isomorfo a um subgrupo de
, portanto
divide
e em particular
Vamos ver para quais
isso é possível.
Calculemos os fatorial pequenos:
Observa-se que
e
.
Portanto, se
então
, o que impede que
injete em
. Logo para
a única possibilidade é que
seja não trivial, mas isso contradiz a simplicidade de
. Conclusão: não existem subgrupos de índice
com
.
Assim necessariamente qualquer subgrupo próprio
tem índice
Passo 6
Transformar a desigualdade em uma cota para
. Como
e
, obtemos
Portanto qualquer subgrupo próprio
de
tem ordem
.
Observação didática: dessa forma não tivemos que listar todos os divisores de
nem excluir caso a caso. A ideia-chave é a ação por permutações nos cosets e o uso da simplicidade de
para forçar o índice a ser suficientemente grande, o que imediatamente dá a cota superior para
.
Passo 7
Comentário exemplificativo (para fixar): se
tivesse ordem
então o índice seria
e
é
, o que leva à contradição via o mesmo raciocínio (índice
implicaria núcleo não trivial, i.e.
normal). Se
tivesse ordem
o índice seria
e
, também impossível. Se
tivesse ordem
o índice seria
e
, impossível. Assim todos esses casos com ordem maior que
são descartados de forma unificada pela desigualdade
.
Resposta
Qualquer subgrupo próprio
de
satisfaz
.