*13. Demonstrar que, se um subgrupo normal de A_{n} contém pelo menos um 3-ciclo, então êle coincide com A_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: seja N um subgrupo normal de A_{n} que contém pelo menos um 3-ciclo. Mostrar que então N coincide com A_{n} (isto é, N=A_{n}).
Informações relevantes dadas:
  • A_{n} é o grupo alternante sobre n símbolos.
  • Há um subgrupo normal N\trianglelefteq A_{n} tal que N contém algum 3-ciclo (ou seja, existe um elemento do tipo (a\\ b\\ c) em N).
  • Não foram dadas outras restrições sobre n no enunciado; portanto devemos tratar os casos pequenos possíveis ( n=3,4) e o caso geral ( n\ge5).
O que será mostrado nos próximos passos:
  • Para cada caso de n (separadamente quando necessário) provar detalhadamente, usando definições e construções explícitas, que se um subgrupo normal contém um 3-ciclo então ele contém todos os 3-ciclos relevantes e, como os 3-ciclos geram A_{n}, o subgrupo é todo A_{n}.

Passo 2

Relembrando conceitos fundamentais (com explicações bem passo a passo).
  • Permutação e ciclo: uma permutação de \{1,\dots,n\} pode ser escrita em notação cíclica; por exemplo (1\\\ 2\\\ 3) envia 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1, e fixa os outros pontos.
  • 3-ciclo: permutação de ordem 3 que movimenta exatamente três elementos, escrita (i\\ j\\ k).
  • Conjugação: para \sigma,\pi\in S_n define-se \sigma\pi\sigma^{-1}. Conjugar uma 3-ciclo apenas relabela os índices: \sigma (a\\ b\\ c)\sigma^{-1} = (\sigma(a)\\ \sigma(b)\\ \sigma\text{(c)}).
  • Subgrupo normal: N\trianglelefteq A_{n} significa que \sigma x\sigma^{-1}\in N para todo \sigma\in A_{n} e todo x\in N. Em particular, se N contém um 3-ciclo, então contém todas as suas conjugadas por elementos de A_{n}.
  • Geração por 3-ciclos: é um fato padrão e elementar (será mostrado explicitamente) que, para n\ge3, o grupo A_{n} é gerado por 3-ciclos; ou seja, todo elemento de A_{n} pode ser escrito como produto de 3-ciclos.
Vou usar esses fatos e demonstrá-los/justificá-los quando necessários.

Passo 3

Caso n=3. Aqui A_{3} tem ordem 3 e é cíclico gerado por qualquer 3-ciclo (por exemplo (1\\\ 2\\\ 3)). Se N é subgrupo normal de A_{3} e contém um 3-ciclo não trivial, então contém o gerador do grupo, logo N=A_{3}. Portanto a afirmação é verdadeira para (n=3).

Passo 4

Caso n\ge5. Este é o caso em que podemos dar um argumento uniforme simples e construtivo.
  1. Mostrar que, se N\trianglelefteq A_{n} contém algum 3-ciclo (a\\ b\\ c), então N contém todos os 3-ciclos de A_{n}.
Explicação detalhada: dado qualquer 3-tuplo distinto (i,j,k) (com i,j,k distintos entre 1,\dots,n), existe uma permutação \pi\in S_{n} tal que \pi(a)=i,\\ \pi(b)=j,\\ \pi\text{(c)}=k. Se essa \pi for par (isto é, \pi\in A_{n}), então já temos
\pi\,(a\\ b\\ c)\,\pi^{-1}=(i\\ j\\ k)\in N.
Se a \pi encontrada for ímpar, usamos que n\ge5 para «corrigir» a paridade sem alterar as imagens de a,b,c: existem pelo menos dois símbolos distintos de i,j,k; tome uma transposição \tau que troque dois desses símbolos que não são i,j,k. Essa transposição \tau comuta com os elementos i,j,k (isto é, fixa i,j,k), então \sigma:=\tau\circ\pi satisfaz \sigma(a)=i,\\ \sigma(b)=j,\\ \sigma\text{(c)}=k e \sigma é par (produto de uma transposição ímpar por \pi ímpar). Como \sigma\in A_{n} e N é normal, segue que
\sigma\,(a\\ b\\ c)\,\sigma^{-1}=(i\\ j\\ k)\in N.
Logo, para todo triplo (i,j,k) distinto temos (i\\ j\\ k)\in N. Assim N contém todos os 3-ciclos de A_{n}.
  1. Mostrar que os 3-ciclos geram A_{n}.
Explicação detalhada e construtiva: qualquer permutação par pode ser escrita como produto de um número par de transposições. Mostramos que um produto de duas transposições pode ser escrito como produto de 3-ciclos, e assim qualquer produto par de transposições (isto é, qualquer elemento de A_{n}) é produto de 3-ciclos.
Sejam (a\\ b) e (c\\ d) duas transposições disjuntas (os casos que se sobrepõem são ainda mais fáceis de reduzir). Verifica-se a identidade
(a\\ b)(c\\ d) = (a\\ b\\ c)(a\\ c\\ d).
(Para ver isso explicitamente, aplicam-se os dois lados a cada elemento e confere-se que as imagens coincidem; esta é uma identidade padrão com ciclos.) Assim cada produto de duas transposições disjuntas é produto de dois 3-ciclos. Qualquer elemento de A_{n} é produto de um número par de transposições; agrupando as transposições em pares disjuntos (podendo reescrever produtos para obter disjunções quando necessário) obtemos uma escrita em 3-ciclos. Portanto os 3-ciclos geram A_{n}.
  1. Conclusão para n\ge5. Como N contém todos os 3-ciclos (passo 1) e os 3-ciclos geram A_{n} (passo 2), segue que N contém um gerador do grupo inteiro, logo N=A_{n}.

Passo 5

Caso n=4. Aqui precisamos tratar separadamente porque, no argumento do passo anterior, precisávamos de pelo menos dois símbolos fora do triplo para ajustar a paridade; com n=4 isso falha. Então fazemos um argumento direto e bem explícito.
Estrutura e fatos usados (explicados):
  • A_{4} tem ordem 12. Seus elementos são: a identidade, três «duplas de transposição» (os elementos do tipo (i\\ j)(k\\ l) — esses três formam um subgrupo isomorfo a V_4, o grupo de Klein), e oito 3-ciclos.
  • Em A_{4} os 3-ciclos dividem-se em duas classes de conjugação (cada uma com 4 elementos). Se N\trianglelefteq A_{4} contém um 3-ciclo, então contém todos os seus conjugados por elementos de A_{4}, ou seja contém uma dessas classes de quatro 3-ciclos.
Agora a construção concreta: suponha (1\\\ 2\\\ 3)\in N. Conjugando por um elemento adequado de A_{4} consegue-se, por exemplo, outro 3-ciclo (1\\\ 3\\\ 4) também em N. Então consideremos o produto
(1\\\ 2\\\ 3)\, (1\\\ 3\\\ 4)^{-1}.
Calculemos (1\\\ 3\\\ 4)^{-1}=(1\\\ 4\\\ 3). O produto dá
(1\\\ 2\\\ 3)(1\\\ 4\\\ 3) = (1\\\ 4)(2\\\ 3),
que é uma dupla de transposição (um elemento de V_4). Assim N contém também (1\\\ 4)(2\\\ 3). Conjugando essa dupla de transposição por elementos de A_{4} (lembre: N é normal) obtém-se as outras duplas de transposição, logo N contém todo o V_4.
Portanto N contém uma classe de 3-ciclos (alguns 3-ciclos) e contém V_4. Mas A_{4} é gerado por V_4 mais qualquer 3-ciclo (explicitamente, combinando um 3-ciclo com os elementos de V_4 obtém-se todos os 3-ciclos e assim todo A_4). Logo N contém V_4 e um 3-ciclo, portanto gera todo A_{4}. Conclui-se que N=A_{4}.

Passo 6

Resumo final dos casos:
  • (n=3): A_3 é gerado pela 3-ciclo, logo se N contém uma 3-ciclo então N=A_3.
  • (n=4): argumento explícito acima mostra que a presença de um 3-ciclo em N força N a conter V_4 e assim gerar A_4; logo N=A_4.
  • (n\ge5): com a correção de paridade é possível conjugar (a\\ b\\ c) por elementos de A_n para obter qualquer 3-ciclo; como os 3-ciclos geram A_n, segue N=A_n.
Assim em todas as situações possíveis (para n\ge3) a conclusão vale.

Resposta

N=A_{n}

Exercícios relacionados