*13. Demonstrar que, se um subgrupo normal de
contém pelo menos um 3-ciclo, então êle coincide com
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: seja
um subgrupo normal de
que contém pelo menos um 3-ciclo. Mostrar que então
coincide com
(isto é,
).
Informações relevantes dadas:
-
é o grupo alternante sobre símbolos. - Há um subgrupo normal
tal que contém algum 3-ciclo (ou seja, existe um elemento do tipo em ). - Não foram dadas outras restrições sobre
no enunciado; portanto devemos tratar os casos pequenos possíveis ( ) e o caso geral ( ).
O que será mostrado nos próximos passos:
- Para cada caso de
(separadamente quando necessário) provar detalhadamente, usando definições e construções explícitas, que se um subgrupo normal contém um 3-ciclo então ele contém todos os 3-ciclos relevantes e, como os 3-ciclos geram , o subgrupo é todo .
Passo 2
Relembrando conceitos fundamentais (com explicações bem passo a passo).
- Permutação e ciclo: uma permutação de
pode ser escrita em notação cíclica; por exemplo envia , , , e fixa os outros pontos. - 3-ciclo: permutação de ordem
que movimenta exatamente três elementos, escrita . - Conjugação: para
define-se . Conjugar uma -ciclo apenas relabela os índices: . - Subgrupo normal:
significa que para todo e todo . Em particular, se contém um 3-ciclo, então contém todas as suas conjugadas por elementos de . - Geração por 3-ciclos: é um fato padrão e elementar (será mostrado explicitamente) que, para
, o grupo é gerado por 3-ciclos; ou seja, todo elemento de pode ser escrito como produto de 3-ciclos.
Vou usar esses fatos e demonstrá-los/justificá-los quando necessários.
Passo 3
Caso
. Aqui
tem ordem
e é cíclico gerado por qualquer 3-ciclo (por exemplo
). Se
é subgrupo normal de
e contém um 3-ciclo não trivial, então contém o gerador do grupo, logo
. Portanto a afirmação é verdadeira para
.
Passo 4
Caso
. Este é o caso em que podemos dar um argumento uniforme simples e construtivo.
- Mostrar que, se
contém algum 3-ciclo , então contém todos os 3-ciclos de .
Explicação detalhada: dado qualquer 3-tuplo distinto
(com
distintos entre
), existe uma permutação
tal que
. Se essa
for par (isto é,
), então já temos
Se a
encontrada for ímpar, usamos que
para «corrigir» a paridade sem alterar as imagens de
: existem pelo menos dois símbolos distintos de
; tome uma transposição
que troque dois desses símbolos que não são
. Essa transposição
comuta com os elementos
(isto é, fixa
), então
satisfaz
e
é par (produto de uma transposição ímpar por
ímpar). Como
e
é normal, segue que
Logo, para todo triplo
distinto temos
. Assim
contém todos os 3-ciclos de
.
- Mostrar que os 3-ciclos geram
.
Explicação detalhada e construtiva: qualquer permutação par pode ser escrita como produto de um número par de transposições. Mostramos que um produto de duas transposições pode ser escrito como produto de 3-ciclos, e assim qualquer produto par de transposições (isto é, qualquer elemento de
) é produto de 3-ciclos.
Sejam
e
duas transposições disjuntas (os casos que se sobrepõem são ainda mais fáceis de reduzir). Verifica-se a identidade
(Para ver isso explicitamente, aplicam-se os dois lados a cada elemento e confere-se que as imagens coincidem; esta é uma identidade padrão com ciclos.) Assim cada produto de duas transposições disjuntas é produto de dois 3-ciclos. Qualquer elemento de
é produto de um número par de transposições; agrupando as transposições em pares disjuntos (podendo reescrever produtos para obter disjunções quando necessário) obtemos uma escrita em 3-ciclos. Portanto os 3-ciclos geram
.
- Conclusão para
. Como contém todos os 3-ciclos (passo 1) e os 3-ciclos geram (passo 2), segue que contém um gerador do grupo inteiro, logo .
Passo 5
Caso
. Aqui precisamos tratar separadamente porque, no argumento do passo anterior, precisávamos de pelo menos dois símbolos fora do triplo para ajustar a paridade; com
isso falha. Então fazemos um argumento direto e bem explícito.
Estrutura e fatos usados (explicados):
-
tem ordem . Seus elementos são: a identidade, três «duplas de transposição» (os elementos do tipo — esses três formam um subgrupo isomorfo a , o grupo de Klein), e oito 3-ciclos. - Em
os 3-ciclos dividem-se em duas classes de conjugação (cada uma com 4 elementos). Se contém um 3-ciclo, então contém todos os seus conjugados por elementos de , ou seja contém uma dessas classes de quatro 3-ciclos.
Agora a construção concreta: suponha
. Conjugando por um elemento adequado de
consegue-se, por exemplo, outro 3-ciclo
também em
. Então consideremos o produto
Calculemos
. O produto dá
que é uma dupla de transposição (um elemento de
). Assim
contém também
. Conjugando essa dupla de transposição por elementos de
(lembre:
é normal) obtém-se as outras duplas de transposição, logo
contém todo o
.
Portanto
contém uma classe de 3-ciclos (alguns 3-ciclos) e contém
. Mas
é gerado por
mais qualquer 3-ciclo (explicitamente, combinando um 3-ciclo com os elementos de
obtém-se todos os 3-ciclos e assim todo
). Logo
contém
e um 3-ciclo, portanto gera todo
. Conclui-se que
.
Passo 6
Resumo final dos casos:
-
: é gerado pela 3-ciclo, logo se contém uma 3-ciclo então . -
: argumento explícito acima mostra que a presença de um 3-ciclo em força a conter e assim gerar ; logo . -
: com a correção de paridade é possível conjugar por elementos de para obter qualquer 3-ciclo; como os 3-ciclos geram , segue .
Assim em todas as situações possíveis (para
) a conclusão vale.