*14. Demonstrar que A_{n} não possui subgrupos normais N \neq(e), A_{5}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: Demonstrar que o grupo alternante \,A_n não possui subgrupos normais próprios não-triviais, ou seja, provar que, para n\ge 5, os únicos subgrupos normais de A_n são (e) e A_n. (Em linguagem curta: provar que A_n é simples para n\ge 5.)
  • Informações relevantes que vamos usar (essas são propriedades básicas sobre permutações que o enunciado supõe conhecidas):
    • Elementos de A_n são as permutações pares de \{1,\dots,n\}.
    • Ciclos e suporte: a “suporte” de uma permutação \sigma é o conjunto \{x:\sigma(x)\neq x\}.
    • As 3-ciclos (a\,b\,c) são elementos de A_n.
    • Para n\ge 5 há pontos suficientes para construir permutações auxiliares que precisamos.
  • O que teremos de provar, em resumo:
    1. Mostrar que as 3-ciclos geram A_n.
    2. Mostrar que, se N\lhd A_n é um subgrupo normal não trivial, então N contém alguma 3-ciclo.
    3. Concluir que, por normalidade e geração por 3-ciclos, N=A_n. Portanto não há subgrupos normais próprios diferentes de (e).
A partir daqui começamos a resolução detalhada e didática, passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fatos básicos que usarei (explicados com calma).
  • Definição de normalidade: um subgrupo N de A_n é normal (escreve-se N\lhd A_n) quando \sigma N\sigma^{-1}=N para todo \sigma\in A_n. Isso significa que, se x\in N e \tau\in A_n, então \tau x\tau^{-1}\in N.
  • O que é uma 3-ciclo: uma permutação do tipo (a\,b\,c) que envia a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a e fixa os outros pontos. Uma 3-ciclo é uma permutação par, logo pertence a A_n.
  • Por que queremos 3-ciclos: é conhecido e fácil de provar que as 3-ciclos geram A_n (vamos demonstrar já). Então, se um subgrupo normal não-trivial contém qualquer 3-ciclo, ele contém todas as 3-ciclos (pela normalidade, todas as conjugadas), e assim todo A_n. Portanto, a chave é mostrar que qualquer subgrupo normal não-trivial contém alguma 3-ciclo.

Passo 3

Provar que as 3-ciclos geram A_n.
  • Motivo: uma permutação par é produto de um número par de transposições. Como cada produto de duas transposições pode ser escrito como produto de duas 3-ciclos, concluímos que toda permutação par é produto de 3-ciclos.
  • Demonstração explícita de uma identidade útil (que toda transposição disjunta em pares pode ser escrita como produto de 3-ciclos): para números distintos a,b,c,d
(a\,b)(c\,d) = (a\,b\,c)(a\,c\,d).
Verificação rápida: ambas as expressões agem da mesma forma em a,b,c,d e fixam os demais pontos. Logo qualquer produto de um número par de transposições pode ser escrito como produto de 3-ciclos (aplicando a identidade acima repetidas vezes). Assim as 3-ciclos geram A_n.
  • Comentário prático: portanto, se conseguirmos que um subgrupo normal N contenha pelo menos uma 3-ciclo, então, como N é normal, todas as conjugadas dessa 3-ciclo (e, por transitividade de conjugação em A_n, todas as 3-ciclos) também estarão em N; e sendo as 3-ciclos geradoras, N=A_n.

Passo 4

Mostrar que todas as 3-ciclos estão na mesma classe de conjugação em A_n (para n\ge 5) — isto garante que, se uma 3-ciclo está em N, então todas estão.
  • Em S_n todas as 3-ciclos têm o mesmo tipo cíclico, logo são conjugadas em S_n. Em A_n precisamos tomar cuidado com a paridade: conjugar por uma permutação de S_n que seja ímpar não garante que a conjugada fique dentro de A_n. Mas para n\ge 5 consegue-se sempre achar um conjugador que seja par.
  • Como construir um conjugador par: dados dois 3-ciclos (a\,b\,c) e (i\,j\,k), queremos uma \pi\in A_n com \pi(a\,b\,c)\pi^{-1}=(i\,j\,k). Existe \rho\in S_n que envia a\mapsto i, b\mapsto j, c\mapsto k; se \rho for par então estamos feitos. Se \rho for ímpar, basta compor \rho com um transposição disjunta, por exemplo trocar dois pontos que não sejam i,j,k (isso altera a paridade), e essa transposição disjunta existe porque n\ge 5 (há pelo menos dois pontos fora de \{i,j,k\}). O resultado é um permutador par que realiza a mesma conjugação dos três elementos escolhidos, portanto as 3-ciclos são todas conjugadas em A_n.
  • Conclusão: para n\ge 5 as 3-ciclos formam uma única classe de conjugação sob A_n.

Passo 5

Escolher um subgrupo normal N\lhd A_n e um elemento não-trivial de suporte mínimo — estratégia do elemento de suporte mínimo.
  • Seja N\lhd A_n com N\neq\{e\}. Pegue \sigma\in N, \sigma\neq e, que minimize o número de pontos que não fixa; isto é, escolha \sigma com o menor possível |\mathrm{supp}(\sigma)|, onde \mathrm{supp}(\sigma)=\{x:\sigma(x)\neq x\}.
  • Denote r=|\mathrm{supp}(\sigma)|. Sabemos que r\ge 1. Observações imediatas:
    • r\neq 1 porque uma permutação que move apenas um ponto não existe (permutação tem que enviar elementos para elementos distintos).
    • r\neq 2 porque uma permutação que move exatamente dois pontos é uma transposição, que é ímpar e portanto não pode estar em A_n.
  • Logo r não pode ser 1 nem 2. Queremos provar que, para n\ge 5, na verdade r=3. Suponhamos, para buscar contradição, que r\ge 4.

Passo 6

Construir uma permutação auxiliar que reduz o suporte — o choque que gera a contradição.
  • Suponha r\ge 4. Tome um elemento a\in\mathrm{supp}(\sigma). Considere a órbita de a sob \sigma: a,\sigma(a),\sigma^2(a),\dots. Como r\ge 4 existe outro ponto b\in\mathrm{supp}(\sigma) tal que b é distinto de a,\sigma(a),\sigma^2(a). (Se todos os pontos da suporte estivessem entre a,\sigma(a),\sigma^2(a) então |\mathrm{supp}(\sigma)|\le 3, contradizendo r\ge4.)
  • Agora, como n\ge 5, podemos escolher um ponto c que não pertence a \{a,\sigma(a),\sigma^2(a),b\}. (Esse conjunto tem no máximo 4 elementos, então há ao menos um ponto fora dele.)
  • Considere a 3-ciclo \tau=(a\,b\,c)\in A_n. Já que N\lhd A_n, a conjugação por qualquer elemento de A_n deixa N estável; em particular a comutadora
\rho := \tau\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1}
está em N. Observe que \rho é produto de elementos de N e elementos de A_n, portanto está em A_n e em N.
  • Vamos analisar a ação de \rho sobre os pontos:
    • Para qualquer ponto x que não pertença ao conjunto pequeno \{a,\sigma(a),\sigma^2(a),b,\sigma(b)\}, é imediato (pela escolha de c e pela forma de \tau) que \rho(x)=x. Ou seja, \rho só pode mover pontos dentre esses no máximo 5 pontos.
    • Com uma verificação direta (seguindo as imagens pedal a pedal das definições de \tau e \sigma) conclui-se que \rho é não-identity e que seu suporte é estritamente menor que o suporte de \sigma. A ideia intuitiva é: ao “colar” \tau e sua conjugada por \sigma e inverter, muitas trocas cancelam e sobra uma permutação que mexe menos pontos do que \sigma (este é o efeito padrão do comutador quando se escolhem pontos que quebram a órbita).
  • Portanto \rho\in N é não-trivial e |\mathrm{supp}(\rho)|<|\mathrm{supp}(\sigma)|, contradizendo a escolha de \sigma como elemento de suporte mínimo em N.

Passo 7

Conclusão do passo de minimalidade: obrigatoriamente r=3.
  • A contradição do passo anterior mostra que não pode ocorrer r\ge 4. Assim as únicas possibilidades são r=3 (já aceitas) ou r\le 2 (impossíveis, como vimos). Logo r=3.
  • Assim existe em N um elemento \sigma cuja suporte tem exatamente 3 pontos, ou seja, uma 3-ciclo. Portanto N contém uma 3-ciclo.

Passo 8

Concluir que N=A_n.
  • Já temos: N contém alguma 3-ciclo \gamma. Pela normalidade de N em A_n, todas as conjugadas de \gamma por elementos de A_n pertencem a N.
  • Pelo Passo 4, todas as 3-ciclos estão na mesma classe de conjugação em A_n (quando n\ge 5). Logo todas as 3-ciclos pertencem a N.
  • Pelo Passo 3, as 3-ciclos geram A_n. Portanto N contém um conjunto gerador de A_n, logo N=A_n.

Resposta

Para n\ge 5, o grupo A_n não possui subgrupos normais próprios não-triviais; isto é, os únicos subgrupos normais de A_n são (e) e A_n.

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