*14. Demonstrar que
não possui subgrupos normais
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: Demonstrar que o grupo alternante
não possui subgrupos normais próprios não-triviais, ou seja, provar que, para , os únicos subgrupos normais de são e . (Em linguagem curta: provar que é simples para .) - Informações relevantes que vamos usar (essas são propriedades básicas sobre permutações que o enunciado supõe conhecidas):
- Elementos de
são as permutações pares de . - Ciclos e suporte: a “suporte” de uma permutação
é o conjunto . - As 3-ciclos
são elementos de . - Para
há pontos suficientes para construir permutações auxiliares que precisamos.
- Elementos de
- O que teremos de provar, em resumo:
- Mostrar que as 3-ciclos geram
. - Mostrar que, se
é um subgrupo normal não trivial, então contém alguma 3-ciclo. - Concluir que, por normalidade e geração por 3-ciclos,
. Portanto não há subgrupos normais próprios diferentes de .
- Mostrar que as 3-ciclos geram
A partir daqui começamos a resolução detalhada e didática, passo a passo.
Passo 2
Conceitos e fatos básicos que usarei (explicados com calma).
- Definição de normalidade: um subgrupo
de é normal (escreve-se ) quando para todo . Isso significa que, se e , então . - O que é uma 3-ciclo: uma permutação do tipo
que envia , , e fixa os outros pontos. Uma 3-ciclo é uma permutação par, logo pertence a . - Por que queremos 3-ciclos: é conhecido e fácil de provar que as 3-ciclos geram
(vamos demonstrar já). Então, se um subgrupo normal não-trivial contém qualquer 3-ciclo, ele contém todas as 3-ciclos (pela normalidade, todas as conjugadas), e assim todo . Portanto, a chave é mostrar que qualquer subgrupo normal não-trivial contém alguma 3-ciclo.
Passo 3
Provar que as 3-ciclos geram
.
-
Motivo: uma permutação par é produto de um número par de transposições. Como cada produto de duas transposições pode ser escrito como produto de duas 3-ciclos, concluímos que toda permutação par é produto de 3-ciclos.
-
Demonstração explícita de uma identidade útil (que toda transposição disjunta em pares pode ser escrita como produto de 3-ciclos): para números distintos
Verificação rápida: ambas as expressões agem da mesma forma em
e fixam os demais pontos. Logo qualquer produto de um número par de transposições pode ser escrito como produto de 3-ciclos (aplicando a identidade acima repetidas vezes). Assim as 3-ciclos geram
.
- Comentário prático: portanto, se conseguirmos que um subgrupo normal
contenha pelo menos uma 3-ciclo, então, como é normal, todas as conjugadas dessa 3-ciclo (e, por transitividade de conjugação em , todas as 3-ciclos) também estarão em ; e sendo as 3-ciclos geradoras, .
Passo 4
Mostrar que todas as 3-ciclos estão na mesma classe de conjugação em
(para
) — isto garante que, se uma 3-ciclo está em
, então todas estão.
- Em
todas as 3-ciclos têm o mesmo tipo cíclico, logo são conjugadas em . Em precisamos tomar cuidado com a paridade: conjugar por uma permutação de que seja ímpar não garante que a conjugada fique dentro de . Mas para consegue-se sempre achar um conjugador que seja par. - Como construir um conjugador par: dados dois 3-ciclos
e , queremos uma com . Existe que envia , , ; se for par então estamos feitos. Se for ímpar, basta compor com um transposição disjunta, por exemplo trocar dois pontos que não sejam (isso altera a paridade), e essa transposição disjunta existe porque (há pelo menos dois pontos fora de ). O resultado é um permutador par que realiza a mesma conjugação dos três elementos escolhidos, portanto as 3-ciclos são todas conjugadas em . - Conclusão: para
as 3-ciclos formam uma única classe de conjugação sob .
Passo 5
Escolher um subgrupo normal
e um elemento não-trivial de suporte mínimo — estratégia do elemento de suporte mínimo.
- Seja
com . Pegue , , que minimize o número de pontos que não fixa; isto é, escolha com o menor possível , onde . - Denote
. Sabemos que . Observações imediatas: -
porque uma permutação que move apenas um ponto não existe (permutação tem que enviar elementos para elementos distintos). -
porque uma permutação que move exatamente dois pontos é uma transposição, que é ímpar e portanto não pode estar em .
-
- Logo
não pode ser nem . Queremos provar que, para , na verdade . Suponhamos, para buscar contradição, que .
Passo 6
Construir uma permutação auxiliar que reduz o suporte — o choque que gera a contradição.
- Suponha
. Tome um elemento . Considere a órbita de sob : . Como existe outro ponto tal que é distinto de . (Se todos os pontos da suporte estivessem entre então , contradizendo .) - Agora, como
, podemos escolher um ponto que não pertence a . (Esse conjunto tem no máximo 4 elementos, então há ao menos um ponto fora dele.) - Considere a 3-ciclo
. Já que , a conjugação por qualquer elemento de deixa estável; em particular a comutadora
está em
. Observe que
é produto de elementos de
e elementos de
, portanto está em
e em
.
- Vamos analisar a ação de
sobre os pontos: - Para qualquer ponto
que não pertença ao conjunto pequeno , é imediato (pela escolha de e pela forma de ) que . Ou seja, só pode mover pontos dentre esses no máximo 5 pontos. - Com uma verificação direta (seguindo as imagens pedal a pedal das definições de
e ) conclui-se que é não-identity e que seu suporte é estritamente menor que o suporte de . A ideia intuitiva é: ao “colar” e sua conjugada por e inverter, muitas trocas cancelam e sobra uma permutação que mexe menos pontos do que (este é o efeito padrão do comutador quando se escolhem pontos que quebram a órbita).
- Para qualquer ponto
- Portanto
é não-trivial e , contradizendo a escolha de como elemento de suporte mínimo em .
Passo 7
Conclusão do passo de minimalidade: obrigatoriamente
.
- A contradição do passo anterior mostra que não pode ocorrer
. Assim as únicas possibilidades são (já aceitas) ou (impossíveis, como vimos). Logo . - Assim existe em
um elemento cuja suporte tem exatamente 3 pontos, ou seja, uma 3-ciclo. Portanto contém uma 3-ciclo.
Passo 8
Concluir que
.
- Já temos:
contém alguma 3-ciclo . Pela normalidade de em , todas as conjugadas de por elementos de pertencem a . - Pelo Passo 4, todas as 3-ciclos estão na mesma classe de conjugação em
(quando ). Logo todas as 3-ciclos pertencem a . - Pelo Passo 3, as 3-ciclos geram
. Portanto contém um conjunto gerador de , logo .
Resposta
Para
, o grupo
não possui subgrupos normais próprios não-triviais; isto é, os únicos subgrupos normais de
são
e
.