Admitindo que um plano com densidade de carga uniforme seja infinito e esteja localizado em xy, calcule. O campo elétrico em
e
. Considerar duas superfícies gaussianas diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um plano infinito com densidade de carga uniforme, posicionado no plano xy. Precisamos calcular o campo elétrico nas regiões acima do plano (z > 0) e abaixo do plano (z < 0). Para isso, vamos usar o conceito de superfícies gaussianas, que nos ajuda a aplicar a Lei de Gauss de maneira prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é:
Passo 3
Como temos um plano infinito, é estratégico escolher uma superfície gaussiana que aproveite essa simetria. Vamos usar uma “caixa” retangular (chamada de paralelepípedo) que atravessa o plano. Essa caixa terá duas faces paralelas ao plano, uma em z > 0 e outra em z < 0, e as outras quatro faces serão perpendiculares ao plano.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através de cada face da caixa. Nas quatro faces laterais perpendiculares ao plano, o campo elétrico será paralelo a essas superfícies, então o fluxo através delas é zero. Apenas as duas faces paralelas ao plano contribuem para o fluxo.
Passo 5
Suponha que o campo elétrico tenha intensidade E e seja perpendicular ao plano. O fluxo elétrico total é então:
Aqui, A é a área de cada face da caixa.
Passo 6
A carga total dentro da superfície gaussiana é a densidade de carga σ multiplicada pela área A do plano, ou seja:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar A dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo para E:
Isso significa que o campo elétrico tem intensidade
em cada lado do plano.
Resposta
O campo elétrico gerado pelo plano infinito com densidade de carga σ é igual a
em magnitude, direcionado perpendicularmente para cima (z > 0) e para baixo (z < 0).