Uma partícula se move em um círculo (cento O e raio R ) com velocidade angular constante omega, no sentido anti-horário. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo x no instante t=0.
a) Mostre que a posição da partícula é dada por r(t)=x R cos (omega t)+y R sin (omega t).
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. ( R: v(t)=-omega R sin (omega t) x+omega R cos (omega t) y ; a(t)= -omega^2 R(x cos (omega t)+y sin (omega t)))
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? ( R:|a|=omega^2 R=v^2R )
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está se movendo em um círculo com raio e velocidade angular constante . Ela começa no eixo quando o tempo . Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme para encontrar a posição, velocidade e aceleração da partícula, além de relacionar tudo isso com as propriedades conhecidas desse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a posição da partícula em qualquer instante . Como ela está se movendo em um círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para representar suas coordenadas e .

Passo 3

Como a partícula começa no eixo , sua posição inicial é . À medida que o tempo passa, ela gira no sentido anti-horário, então sua coordenada diminui com e a coordenada aumenta com .

Passo 4

Portanto, a posição vetorial r(t) = x , R cos(omega t) + y , R sin(omega t) da partícula pode ser escrita como:
Isso significa que, em qualquer tempo , a posição da partícula é dada pelas componentes nas direções e .

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade , a gente deriva a posição em relação ao tempo. A derivada de é e a derivada de é .

Passo 6

Então, a velocidade fica:
v(t) = dr(t)dt = -omega R sin(omega t) , x + omega R cos(omega t) , y

Passo 7

Para a aceleração , derivamos a velocidade em relação ao tempo. A derivada de é e a derivada de é .

Passo 8

Então, a aceleração fica:
a(t) = dv(t)dt = -omega^2 R cos(omega t) , x - omega^2 R sin(omega t) , y = -omega^2 r(t)
Isso mostra que a aceleração está sempre na direção oposta à posição, característica do movimento circular uniforme.

Passo 9

A magnitude da aceleração |a| = omega^2 R é:
|a| = v^2R
E, observando a relação , podemos escrever:
Isso mostra que a aceleração centrípeta depende do quadrado da velocidade e inversamente do raio do círculo.

Passo 10

Finalmente, relacionando tudo com as propriedades do movimento circular uniforme:
  • A posição, velocidade e aceleração estão todas ligadas pelas funções trigonométricas e pela velocidade angular .
  • A aceleração centrípeta mantém a partícula em movimento circular, sempre perpendicular à velocidade.
  • A magnitude da aceleração depende da velocidade e do raio, confirmando que, para manter o movimento circular, é necessária uma aceleração direcionada para o centro.

Resposta

A posição, velocidade e aceleração da partícula são dadas por:
r(t) = x , R cos(omega t) + y , R sin(omega t)
v(t) = -omega R sin(omega t) , x + omega R cos(omega t) , y
a(t) = -omega^2 R (x cos(omega t) + y sin(omega t))
A magnitude da aceleração é , confirmando as propriedades do movimento circular uniforme.

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