Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o produto escalar entre eles. As informações fornecidas são:
\boldsymbol{A} = 3\boldsymbol{i} + 7\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}
A pergunta é: determinar \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do produto escalar para vetores escritos na base ortonormal \{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}. Se
\boldsymbol{A} = (A_x,A_y,A_z) \quad\text{e}\quad \boldsymbol{B} = (B_x,B_y,B_z),
então o produto escalar é dado por
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.
Explicando: aqui A_x é a componente de \boldsymbol{A} na direção de \boldsymbol{i}, A_y na direção de \boldsymbol{j} e A_z na direção de \boldsymbol{k}. O motivo dessa fórmula é que \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k} são ortogonais e de norma 1, então só permanecem os produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Extraímos as componentes dos vetores dados (estou pegando estas componentes diretamente das expressões do enunciado):
\boldsymbol{A} = (A_x,A_y,A_z) = (3,\,7,\,-1)
\boldsymbol{B} = (B_x,B_y,B_z) = (1,\,-1,\,0).
Observação: a componente em \boldsymbol{k} de \boldsymbol{B} é 0 porque \boldsymbol{B} não tem termo em \boldsymbol{k} no enunciado.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do produto escalar somando os produtos das componentes correspondentes:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.
Substituindo os valores:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = 3\cdot 1 + 7\cdot(-1) + (-1)\cdot 0.
Calculando cada termo:
3\cdot 1 = 3,
7\cdot(-1) = -7,
(-1)\cdot 0 = 0.
Somando:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = 3 + (-7) + 0 = -4.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova: o produto escalar deu -4. Uma maneira rápida na prova é sempre escrever as componentes e multiplicar componente a componente; é raro dar erro se você copiar bem os sinais. Outra interpretação: como o resultado é negativo, isso indica que o ângulo entre \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} é maior que 90^\circ (mas não foi pedido calcular o ângulo aqui).

Resposta

-4

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