Supondo boldsymbol{u}=(2,-2,1) e boldsymbol{v}=(3,0-1) e boldsymbol{w}=(4,-1,2), determine:
boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}+\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular a soma escalar
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\boldsymbol{u}=(2,-2,1),
\boldsymbol{v}=(3,0-1),
\boldsymbol{w}=(4,-1,2).
Observação importante: o enunciado trouxe \boldsymbol{v}=(3,0-1) sem a vírgula entre 0 e -1. Vou interpretar isso como \boldsymbol{v}=(3,0,-1). Se você tiver outra interpretação, me fala, mas essa é a mais natural.

Passo 2

Lembra do que é o produto escalar (dot product)? Vou explicar direitinho.
Definição componente a componente:
se \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente na coordenada i-ésima dos vetores \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b}.
Propriedade útil (distributividade):
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}).
Isso significa que podemos somar \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} primeiro e depois fazer um único produto escalar com \boldsymbol{u} — às vezes é mais rápido.

Passo 3

Vamos aplicar a definição direto para \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}. Com as componentes:
\boldsymbol{u}=(2,-2,1) e \boldsymbol{v}=(3,0,-1).
Usando
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=2\cdot 3+(-2)\cdot 0+1\cdot(-1),
faço cada multiplicação separada: 2\cdot 3=6, (-2)\cdot 0=0, 1\cdot(-1)=-1.

Passo 4

Somando os termos de cima:
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=6+0-1=5.
Então \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=5.

Passo 5

Agora \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}. Com \boldsymbol{w}=(4,-1,2) e \boldsymbol{u}=(2,-2,1),
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=2\cdot 4+(-2)\cdot(-1)+1\cdot 2.
Calculo cada peça: 2\cdot 4=8, (-2)\cdot(-1)=2, 1\cdot 2=2.

Passo 6

Somando:
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=8+2+2=12.
Logo \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=12.

Passo 7

Agora somo os dois resultados (ou, se preferir, poderia ter usado a distributividade):
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=5+12=17.
Verificação rápida usando a distributividade: \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(3+4,\,0+(-1),\,-1+2)=(7,-1,1) e
\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})=2\cdot 7+(-2)\cdot(-1)+1\cdot 1=14+2+1=17,
confirmação consistente.

Resposta

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