1.3 Adotando a tensão admissível de 155 MPa , determine o maior momento de flexão M que pode ser aplicado à viga de mesa larga mostrada. Despreze os efeitos dos adocamentos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior momento de flexão M que pode ser aplicado à viga, adotando tensão admissível \sigma_{\text{adm}}=155\\ \text{MPa} e desprezando efeitos dos adocamentos.
Informações relevantes (retiradas da figura):
  • Largura da mesa (flange): b_f = 200\\ \text{mm}.
  • Espessura da mesa (flange): t_f = 12\\ \text{mm}.
  • Espessura do alma (web): t_w = 8\\ \text{mm}.
  • Altura total da viga: h = 220\\ \text{mm}.
  • Tensão admissível: \sigma_{\text{adm}} = 155\\ \text{MPa} = 155\\ \text{N/mm}^2.
O que precisamos calcular:
  • Momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal, I.
  • Módulo de resistência à flexão (módulo de seção) S = I/c, onde c é a distância do neutro até a fibra mais afastada.
  • Máximo momento M_{\max} a partir da relação de flexão linear \sigma_{\max} = M_{\max}/S \le \sigma_{\text{adm}}.

Passo 2

Princípios e fórmulas importantes (explicação didática):
  • A tensão máxima na flexão simples para uma seção transversal é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M}{S},
onde M é o momento fletor e S é o módulo de seção em relação à fibra mais extrema.
  • O módulo de seção S relaciona-se ao momento de inércia I pela
S=\frac{I}{c},
onde c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (aqui c=h/2).
  • Para uma seção que é combinação de retângulos (duas mesas + alma) calcula-se I somando os momentos de inércia de cada peça em relação ao eixo neutro usando o teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{total}}=\sum\left(I_{\text{centro}} + A d^{2}\right),
onde I_{\text{centro}} é o momento de inércia da peça em torno de seu próprio centro (para um retângulo de base b e altura a: I_{\text{rect,centro}}=\dfrac{b\,a^{3}}{12}), A é a área da peça e d é a distância entre o centro da peça e o eixo neutro.
  • Aqui a fibra mais afastada está na borda superior/inferior; portanto
c=\frac{h}{2}.

Passo 3

Determinar valores geométricos usados nos cálculos:
  • Distância do neutro até a fibra extrema:
c=\frac{h}{2}=\frac{220}{2}=110\\ \text{mm}.
  • Altura útil da alma (altura do retângulo da alma):
h_{\text{web}}=h-2t_f=220-2\cdot12=220-24=196\\ \text{mm}.
  • Posição dos centros das mesas em relação ao neutro: a distância do centro de cada flange ao neutro é
d=\frac{h}{2}-\frac{t_f}{2}=110-6=104\\ \text{mm}.
  • Áreas:
A_{\text{flange}}=b_f\cdot t_f=200\cdot12=2400\\ \text{mm}^2,
A_{\text{web}}=t_w\cdot h_{\text{web}}=8\cdot196=1568\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Calcular o momento de inércia de UMA flange em torno do seu centro (retângulo b_f\times t_f):
I_{\text{flange,centro}}=\frac{b_f\,t_f^{3}}{12}=\frac{200\cdot 12^{3}}{12}.
Fazendo a conta:
12^{3}=1728,\quad \frac{1728}{12}=144,\quad I_{\text{flange,centro}}=200\cdot144=28800\\ \text{mm}^4.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos para uma flange (distância d=104\\ \text{mm}):
I_{\text{flange,neutro}}=I_{\text{flange,centro}}+A_{\text{flange}}\,d^{2}=28800+2400\cdot104^{2}.
Calcular 104^{2}=10816, então
A_{\text{flange}}\,d^{2}=2400\cdot10816=25958400\\ \text{mm}^4,
I_{\text{flange,neutro}}=28800+25958400=25987200\\ \text{mm}^4.
Como há duas flanges, contribuição total das flanges:
I_{\text{flanges}}=2\cdot25987200=51974400\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Calcular o momento de inércia da alma (web) em torno do eixo neutro. A alma está centrada no neutro, então sua inércia é a do retângulo em seu centro:
I_{\text{web}}=\frac{t_w\,h_{\text{web}}^{3}}{12}=\frac{8\cdot196^{3}}{12}.
Calcular 196^{3}:
196^{2}=38416,\quad 196^{3}=38416\cdot196=7529536.
Então
I_{\text{web}}=\frac{8\cdot7529536}{12}=\frac{2}{3}\cdot7529536\approx5019690{,}6667\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Somar as contribuições para obter o momento de inércia total:
I_{\text{total}}=I_{\text{flanges}}+I_{\text{web}}=51974400+5019690{,}6667\approx56994090{,}6667\\ \text{mm}^4.
Calcular o módulo de seção:
S=\frac{I_{\text{total}}}{c}=\frac{56994090{,}6667}{110}\approx518127{,}1888\\ \text{mm}^3.

Passo 7

Usar a condição de tensão admissível \sigma_{\max}=\dfrac{M_{\max}}{S}\le\sigma_{\text{adm}}. Assim o maior momento permissível é
M_{\max}=\sigma_{\text{adm}}\;S.
Substituindo valores ( \sigma_{\text{adm}}=155\\ \text{N/mm}^2):
M_{\max}=155\cdot518127{,}1888\approx80384690{,}264\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Converter para \text{kN}\cdot\text{m} (dividir por 10^{6}):
M_{\max}\approx80{,}38\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Apontamento prático: aproximando para dois algarismos após a vírgula, M_{\max}\approx80{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Resposta

M_{\max}=80{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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