Exercício 5.10 - O motor elétrico exerce um torque de 500 \mathrm{~N} . \mathrm{m} no eixo de alumínio ABCD quando este está sob velocidade constante. Sabendo que G_{\text {al }}=27 \mathrm{GPa} e considerando os torques indicados abaixo, determine (a) o ângulo de torçāo (em graus) entre B e C; e (b) o ângulo de torçāo (em graus) entre B e D. [Resposta: (a) \phi_{\mathrm{BC}}=1.3848^{\circ}; (b) \left.\phi_{\mathrm{BD}}=3.228^{\circ}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o ângulo de torção entre B e C (em graus);
  • (b) o ângulo de torção entre B e D (em graus).
As informações fornecidas (algumas tiradas da figura) que vamos usar:
  • Módulo de cisalhamento do alumínio: G_{\text{al}}=27\\ \text{GPa}=27\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Torques aplicados (conforme indicados na figura): torque em B de 200\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}, torque em C de 300\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}, e torque do motor em D de 500\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
  • Geometria dos trechos (extraído da figura):
    • comprimento entre A e B: 1{,}0\\ \text{m};
    • comprimento entre B e C: 1{,}2\\ \text{m};
    • comprimento entre C e D: 0{,}9\\ \text{m}.
  • Diâmetros dos trechos (extraído da figura):
    • trecho AB: d_{AB}=40\\ \text{mm}=0{,}040\\ \text{m};
    • trecho BC: d_{BC}=44\\ \text{mm}=0{,}044\\ \text{m};
    • trecho CD: d_{CD}=48\\ \text{mm}=0{,}048\\ \text{m}.
Observação prática para organizar: para achar o ângulo entre B e C precisamos da torção (momento interno) no trecho BC e aplicar a fórmula de torção \varphi = TL/(GJ). Para o ângulo entre B e D somamos a torção em BC e em CD.

Passo 2

Breve revisão física e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, devagar e com jeitinho):
  • Em um eixo circular maciço em torção, o ângulo de torção (em radianos) ao longo de um trecho reto e homogêneo é dado por
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • T é o torque interno (momento torsor) atuando naquele trecho (unidade: \text{N}\cdot\text{m});
  • L é o comprimento do trecho (unidade: m);
  • G é o módulo de cisalhamento do material (unidade: Pa);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: \text{m}^4).
  • Para um eixo circular maciço de diâmetro d, o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Explicando: d^{4} mostra que pequenas mudanças no diâmetro alteram muito a rigidez torsional; o fator \pi/32 vem da integração da distribuição de área na seção circular.
  • Unidade importante: a fórmula dá \varphi em radianos. Para converter para graus, multiplicar por 180/\pi.

Passo 3

Determinar os torques internos em cada trecho (diagrama de torques). Escolhemos a convenção: torques no sentido horário positivos. Cortando o eixo e somando torques à direita do corte (ou à esquerda) obtemos o torque interno naquela seção.
  • Seção entre C e D (trecho CD): à direita do trecho está apenas o torque do motor de 500\\ \mathrm{N\cdot m}. Então o torque interno em CD é
T_{CD}=500\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Seção entre B e C (trecho BC): à direita do trecho temos o torque 300\\ \mathrm{N\cdot m} em C (resistência) e o motor 500\\ \mathrm{N\cdot m} em D. Com sinais (tomando horário positivo),
T_{BC}=T_{\text{motor}} - T_C = 500 - 300 = 200\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Seção entre A e B (trecho AB): à direita do trecho estão T_B=200, T_C=300 e T_{\text{motor}}=500. Soma: 500-300-200=0. Assim T_{AB}=0 (nenhuma torção no trecho mais à esquerda).
Portanto os torques internos que importam para os ângulos pedidos são:
T_{BC}=200\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad T_{CD}=500\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Calcular J para os dois trechos BC e CD usando J=\dfrac{\pi d^4}{32}. Vou mostrar o cálculo com os números.
Para BC: d_{BC}=0{,}044\\ \text{m}.
d_{BC}^{4}=(0{,}044)^{4}=3{,}748096\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
J_{BC}=\frac{\pi d_{BC}^4}{32}=\frac{\pi(3{,}748096\times10^{-6})}{32}=3{,}6761207\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
Para CD: d_{CD}=0{,}048\\ \text{m}.
d_{CD}^{4}=(0{,}048)^{4}=5{,}308416\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
J_{CD}=\frac{\pi d_{CD}^4}{32}=\frac{\pi(5{,}308416\times10^{-6})}{32}=5{,}2093270\times10^{-7}\\ \text{m}^4.

Passo 5

Calcular a torção no trecho BC usando \varphi=\dfrac{T L}{G J}.
Valores para BC: T_{BC}=200\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}, L_{BC}=1{,}2\\ \text{m}, G=27\times10^{9}\\ \text{Pa}, J_{BC}=3{,}6761207\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
\phi_{BC}=\frac{T_{BC}\,L_{BC}}{G\,J_{BC}} =\frac{200\cdot 1{,}2}{27\times10^{9}\cdot 3{,}6761207\times10^{-7}} \\ \text{rad}.
Calculemos numericamente:
\phi_{BC}=\frac{240}{27\times10^{9}\times 3{,}6761207\times10^{-7}} =\frac{240}{9925{,}52562}\approx 0{,}0241777\\ \text{rad}.
Agora convertemos para graus:
\phi_{BC}(\text{graus})=0{,}0241777\cdot\frac{180}{\pi}\approx 1{,}3848^\circ.

Passo 6

Calcular a torção no trecho CD.
Valores para CD: T_{CD}=500\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}, L_{CD}=0{,}9\\ \text{m}, J_{CD}=5{,}2093270\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
\phi_{CD}=\frac{T_{CD}\,L_{CD}}{G\,J_{CD}} =\frac{500\cdot 0{,}9}{27\times10^{9}\cdot 5{,}2093270\times10^{-7}} \\ \text{rad}.
Numérico:
\phi_{CD}=\frac{450}{27\times10^{9}\times 5{,}2093270\times10^{-7}} =\frac{450}{14065{,}0829}\approx 0{,}0320129\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\phi_{CD}(\text{graus})=0{,}0320129\cdot\frac{180}{\pi}\approx 1{,}8432^\circ\\ \text{(aprox.)}.

Passo 7

O ângulo entre B e D é a soma dos ângulos nos trechos BC e CD:
\phi_{BD}=\phi_{BC}+\phi_{CD}\approx 1{,}3848^\circ + 1{,}8432^\circ \approx 3{,}2280^\circ.

Resposta

(a) \phi_{BC}=1{,}3848^\circ
(b) \phi_{BD}=3{,}228^\circ

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