Exercício 5.10 - O motor elétrico exerce um torque de
no eixo de alumínio ABCD quando este está sob velocidade constante. Sabendo que
e considerando os torques indicados abaixo, determine (a) o ângulo de torçāo (em graus) entre B e C; e (b) o ângulo de torçāo (em graus) entre B e D. [Resposta: (a)
; (b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) o ângulo de torção entre
e (em graus); - (b) o ângulo de torção entre
e (em graus).
As informações fornecidas (algumas tiradas da figura) que vamos usar:
- Módulo de cisalhamento do alumínio:
. - Torques aplicados (conforme indicados na figura): torque em
de , torque em de , e torque do motor em de . - Geometria dos trechos (extraído da figura):
- comprimento entre
e : ; - comprimento entre
e : ; - comprimento entre
e : .
- comprimento entre
- Diâmetros dos trechos (extraído da figura):
- trecho
: ; - trecho
: ; - trecho
: .
- trecho
Observação prática para organizar: para achar o ângulo entre
e
precisamos da torção (momento interno) no trecho
e aplicar a fórmula de torção
. Para o ângulo entre
e
somamos a torção em
e em
.
Passo 2
Breve revisão física e fórmula que vamos usar (passo-a-passo, devagar e com jeitinho):
- Em um eixo circular maciço em torção, o ângulo de torção (em radianos) ao longo de um trecho reto e homogêneo é dado por
onde:
-
é o torque interno (momento torsor) atuando naquele trecho (unidade: ); -
é o comprimento do trecho (unidade: m); -
é o módulo de cisalhamento do material (unidade: Pa); -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: ). -
Para um eixo circular maciço de diâmetro
, o momento polar de inércia é
Explicando:
mostra que pequenas mudanças no diâmetro alteram muito a rigidez torsional; o fator
vem da integração da distribuição de área na seção circular.
- Unidade importante: a fórmula dá
em radianos. Para converter para graus, multiplicar por .
Passo 3
Determinar os torques internos em cada trecho (diagrama de torques). Escolhemos a convenção: torques no sentido horário positivos. Cortando o eixo e somando torques à direita do corte (ou à esquerda) obtemos o torque interno naquela seção.
- Seção entre
e (trecho ): à direita do trecho está apenas o torque do motor de . Então o torque interno em é
- Seção entre
e (trecho ): à direita do trecho temos o torque em (resistência) e o motor em . Com sinais (tomando horário positivo),
- Seção entre
e (trecho ): à direita do trecho estão , e . Soma: . Assim (nenhuma torção no trecho mais à esquerda).
Portanto os torques internos que importam para os ângulos pedidos são:
Passo 4
Calcular
para os dois trechos
e
usando
. Vou mostrar o cálculo com os números.
Para
:
.
Para
:
.
Passo 5
Calcular a torção no trecho
usando
.
Valores para
:
,
,
,
.
Calculemos numericamente:
Agora convertemos para graus:
Passo 6
Calcular a torção no trecho
.
Valores para
:
,
,
.
Numérico:
Convertendo para graus:
Passo 7
O ângulo entre
e
é a soma dos ângulos nos trechos
e
:
Resposta
(a)
(b)
(b)