Exercício 5.12-O motor elétrico exerce um torque de 800 N.m no eixo de aço ABCD quando este está rotacionando sob velocidade constante. Especifique o diâmetro do eixo ABCD de modo que o ângulo de torção entre A e D nāo exceda
, sabendo que
e
GPa. [Resposta:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Especificar o diâmetro do eixo ABCD de aço de modo que o ângulo de torção entre A e D não exceda
.
Informações fornecidas (peguei alguns valores da imagem enviada):
- Torque aplicado pelo motor em A:
. - Torques aplicados nas posições B e C (peguei estes valores da imagem):
em B e em C. - Comprimentos entre os pontos (peguei da imagem):
, , . - Limite de tensão de cisalhamento:
. - Módulo de cisalhamento:
.
Observação do que vamos garantir:
- O diâmetro deve satisfazer simultaneamente a condição de segurança por tensão de cisalhamento e a condição do ângulo de torção máximo. Vou calcular o diâmetro exigido por cada condição e então adotar o maior (pois o maior atende ambas).
Passo 2
Determinar os torques internos em cada trecho do eixo (equilíbrio estático):
- Entre A e B (trecho AB) o torque transmitido é o torque do motor, pois ainda não encontramos as cargas em B:
. - Entre B e C (trecho BC) o torque transmitido é o torque do motor menos o torque aplicado em B:
- Entre C e D (trecho CD) o torque transmitido é
Logo apenas AB e BC transmitem torção não nula (CD não transmite torque segundo os dados).
Passo 3
Fórmulas básicas (explicadas de forma simples):
- Momento polar de inércia (para seção circular de diâmetro
): Aqui tem unidade , e é o diâmetro do eixo em metros. - Tensão de cisalhamento máxima devido à torção (na superfície, onde é máxima):
onde é o torque aplicado (N·m) e é o raio da seção ( ). Substituindo e para seção circular: Esta fórmula fornece a máxima tensão de cisalhamento na superfície em Pa (ou N/m²). - Ângulo de torção (pequenas rotações, eixo prismaticamente uniforme em cada trecho):
onde é o ângulo em radianos, é o comprimento do trecho. Para um eixo com vários trechos em série, o ângulo total é a soma das contribuições de cada trecho:
Passo 4
Condição de segurança por tensão de cisalhamento (resolver para
):
- Exigimos
. A tensão máxima ocorre no trecho com maior torque, que é AB com . - Igualando para encontrar o diâmetro mínimo a partir da tensão:
- Substituindo valores (converter
para ): . Calculando numericamente: e portanto
Este é o diâmetro mínimo imposto pela condição de tensão.
Passo 5
Condição do ângulo de torção (resolver para
):
- Ângulo permitido:
. Converter para radianos: - O ângulo total entre A e D é soma das rotações em AB, BC e CD. Como
, só AB e BC contribuem: - Isolando
(lembre que ): - Substituindo os valores (peguei
, , , , , ):
Fazendo a raiz quarta:
Este é o diâmetro mínimo imposto pela condição do ângulo de torção.
Passo 6
Comparação das duas condições:
- Diâmetro mínimo por tensão:
. - Diâmetro mínimo por torção:
.
Para satisfazer ambas, devemos escolher o maior dos dois. Adotando um arredondamento prático, ficamos com diâmetro aproximado de
, que corresponde a
; normalmente especifica-se
como valor comercial arredondado.
(Verificação rápida: com
a tensão máxima calculada em AB fica abaixo de
e o ângulo total fica aproximadamente em
, conforme projetado.)