Exercício 5.12-O motor elétrico exerce um torque de 800 N.m no eixo de aço ABCD quando este está rotacionando sob velocidade constante. Especifique o diâmetro do eixo ABCD de modo que o ângulo de torção entre A e D nāo exceda 1.5^{\circ}, sabendo que \tau_{\max }=60 \mathrm{MPa} e G=77 GPa. [Resposta: d=42.1 \mathrm{~mm}]

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Especificar o diâmetro do eixo ABCD de aço de modo que o ângulo de torção entre A e D não exceda \,1,5^\circ.
Informações fornecidas (peguei alguns valores da imagem enviada):
  • Torque aplicado pelo motor em A: T_A=800\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Torques aplicados nas posições B e C (peguei estes valores da imagem): 300\\ \mathrm{N\cdot m} em B e 500\\ \mathrm{N\cdot m} em C.
  • Comprimentos entre os pontos (peguei da imagem): L_{AB}=0,4\\ \mathrm{m}, L_{BC}=0,6\\ \mathrm{m}, L_{CD}=0,3\\ \mathrm{m}.
  • Limite de tensão de cisalhamento: \tau_{\max}=60\\ \mathrm{MPa}.
  • Módulo de cisalhamento: G=77\\ \mathrm{GPa}.
Observação do que vamos garantir:
  • O diâmetro deve satisfazer simultaneamente a condição de segurança por tensão de cisalhamento e a condição do ângulo de torção máximo. Vou calcular o diâmetro exigido por cada condição e então adotar o maior (pois o maior atende ambas).

Passo 2

Determinar os torques internos em cada trecho do eixo (equilíbrio estático):
  • Entre A e B (trecho AB) o torque transmitido é o torque do motor, pois ainda não encontramos as cargas em B: T_{AB}=800\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Entre B e C (trecho BC) o torque transmitido é o torque do motor menos o torque aplicado em B: T_{BC}=T_{AB}-300=800-300=500\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Entre C e D (trecho CD) o torque transmitido é T_{CD}=T_{BC}-500=500-500=0\\ \mathrm{N\cdot m}.
Logo apenas AB e BC transmitem torção não nula (CD não transmite torque segundo os dados).

Passo 3

Fórmulas básicas (explicadas de forma simples):
  • Momento polar de inércia (para seção circular de diâmetro d): J=\frac{\pi d^{4}}{32}.Aqui J tem unidade \mathrm{m^{4}}, e d é o diâmetro do eixo em metros.
  • Tensão de cisalhamento máxima devido à torção (na superfície, onde é máxima): \tau=\frac{T\,c}{J},onde T é o torque aplicado (N·m) e c é o raio da seção ( c=d/2). Substituindo c e J para seção circular: \tau=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.Esta fórmula fornece a máxima tensão de cisalhamento na superfície em Pa (ou N/m²).
  • Ângulo de torção (pequenas rotações, eixo prismaticamente uniforme em cada trecho): \varphi=\frac{T\,L}{G\,J},onde \varphi é o ângulo em radianos, L é o comprimento do trecho. Para um eixo com vários trechos em série, o ângulo total é a soma das contribuições de cada trecho: \phi_{\text{total}}=\sum \frac{T_i L_i}{G J}.

Passo 4

Condição de segurança por tensão de cisalhamento (resolver para d):
  • Exigimos \tau\le \tau_{\max}. A tensão máxima ocorre no trecho com maior torque, que é AB com T=800\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Igualando para encontrar o diâmetro mínimo a partir da tensão: \tau_{\max}=\frac{16\,T_{\max}}{\pi d^{3}} \quad\Rightarrow\quad d^{3}=\frac{16\,T_{\max}}{\pi\,\tau_{\max}}.
  • Substituindo valores (converter \tau_{\max} para \mathrm{Pa}): \tau_{\max}=60\\ \mathrm{MPa}=60\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. d^{3}=\frac{16\cdot 800}{\pi\cdot 60\times10^{6}} =\frac{12800}{\pi\cdot 60\times10^{6}}.Calculando numericamente: d^{3}\approx 6{,}792\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}e portanto d\approx(6{,}792\times10^{-5})^{1/3}\approx 0{,}04093\\ \mathrm{m}=40{,}93\\ \mathrm{mm}.
Este é o diâmetro mínimo imposto pela condição de tensão.

Passo 5

Condição do ângulo de torção (resolver para d):
  • Ângulo permitido: \,1,5^\circ. Converter para radianos: \phi_{\max}=1{,}5^\circ=\frac{1{,}5\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx 0{,}02618\\ \mathrm{rad}.
  • O ângulo total entre A e D é soma das rotações em AB, BC e CD. Como T_{CD}=0, só AB e BC contribuem: \phi_{\text{total}}=\frac{T_{AB}L_{AB}+T_{BC}L_{BC}}{G J}.
  • Isolando d (lembre que J=\pi d^{4}/32): \phi_{\max}=\frac{T_{AB}L_{AB}+T_{BC}L_{BC}}{G}\cdot\frac{32}{\pi d^{4}} \quad\Rightarrow\quad d^{4}=\frac{32\big(T_{AB}L_{AB}+T_{BC}L_{BC}\big)}{\pi G \phi_{\max}}.
  • Substituindo os valores (peguei T_{AB}=800\\ \mathrm{N\cdot m}, L_{AB}=0,4\\ \mathrm{m}, T_{BC}=500\\ \mathrm{N\cdot m}, L_{BC}=0,6\\ \mathrm{m}, G=77\\ \mathrm{GPa}=77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \phi_{\max}\approx0{,}02618\\ \mathrm{rad}): T_{AB}L_{AB}+T_{BC}L_{BC}=800\cdot0{,}4+500\cdot0{,}6=320+300=620\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
d^{4}=\frac{32\cdot 620}{\pi\cdot 77\times10^{9}\cdot 0{,}0261799}\approx 3{,}133\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Fazendo a raiz quarta:
d\approx(3{,}133\times10^{-6})^{1/4}\approx 0{,}04206\\ \mathrm{m}=42{,}06\\ \mathrm{mm}.
Este é o diâmetro mínimo imposto pela condição do ângulo de torção.

Passo 6

Comparação das duas condições:
  • Diâmetro mínimo por tensão: d_{\tau}\approx 40{,}93\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro mínimo por torção: d_{\varphi}\approx 42{,}06\\ \mathrm{mm}.
Para satisfazer ambas, devemos escolher o maior dos dois. Adotando um arredondamento prático, ficamos com diâmetro aproximado de 0{,}04206\\ \mathrm{m}, que corresponde a 42{,}06\\ \mathrm{mm}; normalmente especifica-se d=42{,}1\\ \mathrm{mm} como valor comercial arredondado.
(Verificação rápida: com d\approx0{,}04206\\ \mathrm{m} a tensão máxima calculada em AB fica abaixo de 60\\ \mathrm{MPa} e o ângulo total fica aproximadamente em 1{,}5^\circ, conforme projetado.)

Resposta

d=42{,}1\\ \mathrm{mm}

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