Exercício 5.7 - Considere que um eixo tubular de aço com comprimento L=1.5 \mathrm{~m} e diâmetro externo d_{e}=38 mm possui T_{\max }=65 \mathrm{MPa} e G=77.2 \mathrm{GPa}. Sabendo que o ângulo de torção nāo deve exceder 4.0^{\circ} quando o eixo está submetido a um torque de 600 \mathrm{~N} . \mathrm{m}, determine o maior diâmetro interno \left(d_{i}\right) que pode ser especificado no projeto. [Resposta: d_{i}=23.4 \mathrm{~mm} ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Comprimento: L=1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro externo: d_{e}=38\\ \mathrm{mm} (ou seja d_{e}=0{,}038\\ \mathrm{m}).
    • Torque aplicado: T=600\\ \mathrm{N\cdot m}.
    • Módulo de cisalhamento: G=77{,}2\\ \mathrm{GPa} (ou seja G=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}).
    • Tensão de cisalhamento admissível: T_{\max}=65\\ \mathrm{MPa} (ou seja T_{\max}=65\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}).
    • Ângulo de torção máximo permitido: 4{,}0^\circ (vamos converter para radianos quando necessário).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o maior diâmetro interno d_{i} que pode ser especificado, de forma que o eixo tubular satisfaça as condições impostas.
Observação útil para a resolução: há duas restrições físicas que normalmente limitam d_{i}:
  1. Restrição de ângulo de torção: o ângulo \theta devido ao torque não deve exceder 4{,}0^\circ.
  2. Restrição de tensão de cisalhamento: a tensão de cisalhamento máxima não deve exceder T_{\max}.
O diâmetro interno admissível será o maior d_{i} que satisfaça simultaneamente as duas restrições; assim será necessário calcular o máximo d_{i} permitido por cada restrição e escolher o menor desses valores (pois ambos devem ser respeitados).

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais da torção e explicar cada termo (aula rápida e amigável).
  • Polar de inércia (segunda área polar) para um eixo circular oco (tubo):
J=\frac{\pi}{32}\left(d_{e}^{4}-d_{i}^{4}\right).
Aqui J (unidade \mathrm{m}^{4}) mede a resistência geométrica do eixo à torção; quanto maior J, menor deformação e menor tensão para um mesmo torque. As variáveis:
  • d_{e} é o diâmetro externo,
  • d_{i} é o diâmetro interno.
  • Ângulo de torção (para um eixo de comprimento L, módulo de cisalhamento G e torque T):
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Aqui \theta é medido em radianos. Interpretação: para dado T e L, quanto maior J ou G, menor é \theta.
  • Tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa do eixo, raio c=d_{e}/2):
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\,(d_{e}/2)}{J}.
Isto dá a tensão de cisalhamento máxima induzida pelo torque T. Devemos garantir \tau_{\max}\le T_{\max}.
Plano de ação: a) usar a fórmula do ângulo para obter uma expressão para d_{i} a partir da condição \theta\le 4{,}0^\circ; b) usar a fórmula da tensão para obter d_{i} a partir de \tau_{\max}\le T_{\max}; c) comparar os dois d_{i} e escolher o menor.

Passo 3

Resolver a restrição do ângulo de torção.
  • Primeiro converter o ângulo para radianos:
\theta_{\max}=4{,}0^\circ=\frac{4\pi}{180}=\frac{\pi}{45}\\ \text{rad}.
  • A partir de \theta=\dfrac{T L}{G J} obtemos J necessário para não exceder \theta_{\max}:
J_{\theta}=\frac{T L}{G \theta_{\max}}.
  • Substituir com os valores numéricos (tudo em unidades SI):
    • T=600\\ \mathrm{N\cdot m},
    • L=1{,}5\\ \mathrm{m},
    • G=77{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
    • \theta_{\max}=\dfrac{\pi}{45}.
Cálculo (mostrando contas):
T L = 600\times1{,}5 = 900\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
G\,\theta_{\max}=77{,}2\times10^{9}\times\frac{\pi}{45}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
J_{\theta}=\frac{900}{77{,}2\times10^{9}\cdot\frac{\pi}{45}} \\ \mathrm{m^{4}}\approx 1{,}669992\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Relacionar J_{\theta} com d_{i} via J=\dfrac{\pi}{32}(d_{e}^{4}-d_{i}^{4}):
\frac{\pi}{32}\left(d_{e}^{4}-d_{i}^{4}\right)=J_{\theta} \quad\Rightarrow\quad d_{i}^{4}=d_{e}^{4}-\frac{32}{\pi}J_{\theta}.
  • Calcular numericamente:
    • d_{e}=0{,}038\\ \mathrm{m}\Rightarrow d_{e}^{4}=(0{,}038)^{4}=2{,}085136\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
    • \dfrac{32}{\pi}J_{\theta}\approx 10{,}185915\cdot1{,}669992\times10^{-7}\approx 1{,}7009996\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Portanto
d_{i}^{4}=2{,}085136\times10^{-6}-1{,}7009996\times10^{-6}=3{,}840364\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Tomando a raiz quarta:
d_{i}=\left(3{,}840364\times10^{-7}\right)^{1/4}\approx 0{,}0249\\ \mathrm{m}=24{,}9\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a partir da restrição do ângulo de torção, o maior diâmetro interno admissível seria aproximadamente \boxed{24{,}9\\ \mathrm{mm}}.

Passo 4

Resolver a restrição da tensão de cisalhamento (essa costuma ser a mais crítica).
  • A condição é \tau_{\max}\le T_{\max}. Usando \tau_{\max}=\dfrac{T(d_{e}/2)}{J} e J=\dfrac{\pi}{32}(d_{e}^{4}-d_{i}^{4}), isolamos d_{i}^{4}:
\tau_{\max}=\frac{T(d_{e}/2)}{\dfrac{\pi}{32}(d_{e}^{4}-d_{i}^{4})} \quad\Rightarrow\quad d_{e}^{4}-d_{i}^{4}=\frac{16\,T\,d_{e}}{\pi\,\tau_{\max}}.
Assim
d_{i}^{4}=d_{e}^{4}-\frac{16\,T\,d_{e}}{\pi\,\tau_{\max}}.
  • Substituir valores:
    • T=600\\ \mathrm{N\cdot m},
    • d_{e}=0{,}038\\ \mathrm{m},
    • \tau_{\max}=65\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular a segunda parcela:
\frac{16\,T\,d_{e}}{\pi\,\tau_{\max}} =\frac{16\cdot600\cdot0{,}038}{\pi\cdot65\times10^{6}} \approx 1{,}7869\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Então
d_{i}^{4}=2{,}085136\times10^{-6}-1{,}7869\times10^{-6}=2{,}981\!36\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Tomando a raiz quarta:
d_{i}=\left(2{,}98136\times10^{-7}\right)^{1/4}\approx 0{,}02338\\ \mathrm{m}=23{,}38\\ \mathrm{mm}\approx23{,}4\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a partir da restrição de tensão, o maior diâmetro interno admissível é aproximadamente \boxed{23{,}4\\ \mathrm{mm}}.

Passo 5

Decidir qual restrição controla o projeto e dar a resposta final.
  • Comparando os resultados:
    • Limite pelo ângulo: d_{i,\theta}\approx24{,}9\\ \mathrm{mm}.
    • Limite pela tensão: d_{i,\tau}\approx23{,}4\\ \mathrm{mm}.
Ambas as restrições devem ser satisfeitas simultaneamente, então o diâmetro interno máximo permitido é o menor dos dois valores, isto é o valor imposto pela tensão de cisalhamento.
Conclusão final: o maior diâmetro interno admissível é d_{i}\approx23{,}4\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d_{i}=23{,}4\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados