Exercício 5.7 - Considere que um eixo tubular de aço com comprimento
e diâmetro externo
mm possui
e
. Sabendo que o ângulo de torção nāo deve exceder
quando o eixo está submetido a um torque de
, determine o maior diâmetro interno
que pode ser especificado no projeto. [Resposta:
]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Comprimento:
. - Diâmetro externo:
(ou seja ). - Torque aplicado:
. - Módulo de cisalhamento:
(ou seja ). - Tensão de cisalhamento admissível:
(ou seja ). - Ângulo de torção máximo permitido:
(vamos converter para radianos quando necessário).
- Comprimento:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o maior diâmetro interno
que pode ser especificado, de forma que o eixo tubular satisfaça as condições impostas.
- Determinar o maior diâmetro interno
Observação útil para a resolução: há duas restrições físicas que normalmente limitam
:
- Restrição de ângulo de torção: o ângulo
devido ao torque não deve exceder . - Restrição de tensão de cisalhamento: a tensão de cisalhamento máxima não deve exceder
.
O diâmetro interno admissível será o maior
que satisfaça simultaneamente as duas restrições; assim será necessário calcular o máximo
permitido por cada restrição e escolher o menor desses valores (pois ambos devem ser respeitados).
Passo 2
Apresentar as fórmulas fundamentais da torção e explicar cada termo (aula rápida e amigável).
- Polar de inércia (segunda área polar) para um eixo circular oco (tubo):
Aqui
(unidade
) mede a resistência geométrica do eixo à torção; quanto maior
, menor deformação e menor tensão para um mesmo torque. As variáveis:
-
é o diâmetro externo, -
é o diâmetro interno. -
Ângulo de torção (para um eixo de comprimento
, módulo de cisalhamento e torque ):
Aqui
é medido em radianos. Interpretação: para dado
e
, quanto maior
ou
, menor é
.
- Tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa do eixo, raio
):
Isto dá a tensão de cisalhamento máxima induzida pelo torque
. Devemos garantir
.
Plano de ação: a) usar a fórmula do ângulo para obter uma expressão para
a partir da condição
; b) usar a fórmula da tensão para obter
a partir de
; c) comparar os dois
e escolher o menor.
Passo 3
Resolver a restrição do ângulo de torção.
- Primeiro converter o ângulo para radianos:
- A partir de
obtemos necessário para não exceder :
- Substituir com os valores numéricos (tudo em unidades SI):
-
, -
, -
, -
.
-
Cálculo (mostrando contas):
Logo
- Relacionar
com via :
- Calcular numericamente:
-
. -
.
-
Portanto
- Tomando a raiz quarta:
Interpretação: a partir da restrição do ângulo de torção, o maior diâmetro interno admissível seria aproximadamente
.
Passo 4
Resolver a restrição da tensão de cisalhamento (essa costuma ser a mais crítica).
- A condição é
. Usando e , isolamos :
Assim
- Substituir valores:
-
, -
, -
.
-
Calcular a segunda parcela:
- Então
- Tomando a raiz quarta:
Interpretação: a partir da restrição de tensão, o maior diâmetro interno admissível é aproximadamente
.
Passo 5
Decidir qual restrição controla o projeto e dar a resposta final.
- Comparando os resultados:
- Limite pelo ângulo:
. - Limite pela tensão:
.
- Limite pelo ângulo:
Ambas as restrições devem ser satisfeitas simultaneamente, então o diâmetro interno máximo permitido é o menor dos dois valores, isto é o valor imposto pela tensão de cisalhamento.
Conclusão final: o maior diâmetro interno admissível é
.