Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo
mm , enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de
e a vazão, de
, e no ponto
e
. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Diâmetro da adutora:
. - Rugosidade absoluta do aço novo:
. - Distância entre os pontos A e B:
. - No ponto A:
- cota piezométrica
. - vazão medida
.
- cota piezométrica
- No ponto B:
- cota piezométrica
. - vazão medida
.
- cota piezométrica
- Vazão do vazamento (entre A e B), obtida pela diferença:
- A pergunta: determinar a distância
do ponto A ao vazamento. Repetir o cálculo usando a fórmula de Hazen–Williams.
Observação: a diferença de cota piezométrica entre A e B é
Passo 2
Ideia física e equações que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Percurso da tubulação entre A e B é dividido em dois trechos por onde passam vazões diferentes:
- trecho 1 (de A até o vazamento): comprimento
, vazão . - trecho 2 (do vazamento até B): comprimento
, vazão .
- trecho 1 (de A até o vazamento): comprimento
- A equação de energia (piezométrica) entre A e B, ignorando bombas e trocas de energia além das perdas por atrito, dá que a queda piezométrica é igual à soma das perdas por atrito nos dois trechos:
Aqui é a perda por atrito no trecho A→vazamento e no trecho vazamento→B. - Para cada trecho usaremos dois modelos alternativos:
- Darcy–Weisbach: perda por atrito
onde: -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do trecho (m), -
é o diâmetro (m), -
é a velocidade média no trecho (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ).
A velocidaderelaciona-se com a vazão por
O fator depende de (número de Reynolds) e da rugosidade relativa . Para regime turbulento vais usar a equação implícita de Colebrook ou uma forma explícita aproximada (Swamee–Jain). Vou aplicar Colebrook (iterando) para ser mais preciso e ensinar como fazer. -
- Hazen–Williams (prática em sistemas de água): perda por atrito
onde: -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), depende do material; para aço novo costuma-se usar . -
está em , em , em e em .
-
- Darcy–Weisbach: perda por atrito
- Em ambos os métodos escrevemos
e resolvemos para .
Passo 3
Cálculos preliminares comuns (área, velocidades, Reynolds).
- Área da secção da tubulação:
- Velocidades médias:
- Números de Reynolds (assumindo água à temperatura ambiente, viscosidade cinemática
):
Esses valores confirmam regime turbulento (Re muito maior que
).
- Rugosidade relativa:
Passo 4
Cálculo usando Darcy–Weisbach (com Colebrook para
). Vou mostrar como obter
e montar a equação para
.
- Primeiro, para cada trecho precisamos do fator
. A equação de Colebrook é Isso é implícito em ; resolve-se iterando. Uma alternativa explícita razoável é a fórmula de Swamee–Jain: que dá um bom chute inicial. Vou fazer uma iteração do tipo: usar Swamee–Jain como chute e depois uma iteração de Colebrook para refinar. - Cálculo numérico (valores arredondados para facilitar entendimento, mantendo precisão suficiente):
- Para o trecho com
(trecho 1): -
, . - Aplicando Swamee–Jain obtém-se
. Iterando por Colebrook (1–2 iterações) chega-se a (valor final usado).
-
- Para o trecho com
(trecho 2): -
, . - Swamee–Jain dá
de ordem ; iterando por Colebrook obtém-se .
(Expliquei a ideia: os valores desão muito próximos entre si porque as velocidades e o regime são semelhantes.)
-
- Para o trecho com
- Agora calculamos a perda específica por metro em cada trecho:
Vamos numéricamente: -
. - Para o trecho 1:
-
- Para o trecho 2:
- Escrevendo
com os coeficientes por metro: Desenvolvendo: Calculando os termos numéricos: Assim
Conclusão deste método: com Darcy–Weisbach (Colebrook) obtemos
medidos a partir de A. (Os arredondamentos em
e a temperatura/viscosidade da água influenciam o valor em alguns metros.)
Passo 5
Cálculo usando Hazen–Williams (modo prático usado em redes de água). Explico a fórmula e os parâmetros.
- Fórmula de Hazen–Williams:
Onde: -
é o coeficiente de Hazen–Williams. Para tubo de aço novo é comum usar . Vou usar e mostrar o resultado; depois comento a sensibilidade.
-
- Para cada trecho, a perda por metro é
com - Calculando os termos (valores numéricos):
- Primeiro os expoentes de vazão (usando
em ): - Calculando
e e então :
- Primeiro os expoentes de vazão (usando
- Perdas por metro:
- Montando a equação
: Desenvolvendo:
Conclusão Hazen–Williams com
:
a partir de A.
Passo 6
Observações finais e sensibilidade (breve e motivadora)
- Os dois métodos dão respostas diferentes porque usam modelos diferentes para perdas por atrito. Darcy–Weisbach (com Colebrook) é mais rigoroso fisicamente; Hazen–Williams é empírico e sensível ao valor do coeficiente
. - No cálculo Hazen–Williams o resultado depende bastante do valor de
. Por exemplo, escolher (leve ajuste dentro do esperado para aço novo) desloca o resultado para cerca de , que é bem próximo do valor citado no enunciado. - Em prova: explique qual modelo usaste, justifique o valor de
(se usar Hazen–Williams) e mostre a conta que leva à equação linear em . Isso é suficiente para ganhar os pontos e para o fiscal entender a sensibilidade do resultado.
Resposta
Darcy–Weisbach (Colebrook):
Hazen–Williams (assumindo
):