Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo varepsilon=0,10 mm , enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 \mathrm{~m} e a vazão, de 38,88 \mathrm{~d} / \mathrm{s}, e no ponto \mathrm{B}, 643,43 \mathrm{~m} e 31,81 \mathrm{l} / \mathrm{s}. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams.
x=275 \mathrm{~m}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Diâmetro da adutora: D=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do aço novo: \varepsilon=0{,}10\\ \mathrm{mm}=0{,}00010\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre os pontos A e B: L=500\\ \mathrm{m}.
  • No ponto A:
    • cota piezométrica h_A=657{,}58\\ \mathrm{m}.
    • vazão medida Q_A=38{,}88\\ \mathrm{L/s}=0{,}03888\\ \mathrm{m^3/s}.
  • No ponto B:
    • cota piezométrica h_B=643{,}43\\ \mathrm{m}.
    • vazão medida Q_B=31{,}81\\ \mathrm{L/s}=0{,}03181\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão do vazamento (entre A e B), obtida pela diferença: Q_L = Q_A-Q_B = 0{,}03888-0{,}03181=0{,}00707\\ \mathrm{m^3/s}.
  • A pergunta: determinar a distância x do ponto A ao vazamento. Repetir o cálculo usando a fórmula de Hazen–Williams.
Observação: a diferença de cota piezométrica entre A e B é
\Delta h = h_A-h_B = 657{,}58-643{,}43=14{,}15\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ideia física e equações que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Percurso da tubulação entre A e B é dividido em dois trechos por onde passam vazões diferentes:
    • trecho 1 (de A até o vazamento): comprimento x, vazão Q_A.
    • trecho 2 (do vazamento até B): comprimento L-x, vazão Q_B.
  • A equação de energia (piezométrica) entre A e B, ignorando bombas e trocas de energia além das perdas por atrito, dá que a queda piezométrica é igual à soma das perdas por atrito nos dois trechos: \Delta h = h_{f1}+h_{f2}.Aqui h_{f1} é a perda por atrito no trecho A→vazamento e h_{f2} no trecho vazamento→B.
  • Para cada trecho usaremos dois modelos alternativos:
    1. Darcy–Weisbach: perda por atrito h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^2}{2g},onde:
      • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
      • L é o comprimento do trecho (m),
      • D é o diâmetro (m),
      • V é a velocidade média no trecho (m/s),
      • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
        A velocidade V relaciona-se com a vazão Q por
      V=\frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.O fator f depende de \mathrm{Re} (número de Reynolds) e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Para regime turbulento vais usar a equação implícita de Colebrook ou uma forma explícita aproximada (Swamee–Jain). Vou aplicar Colebrook (iterando) para ser mais preciso e ensinar como fazer.
    2. Hazen–Williams (prática em sistemas de água): perda por atrito h_f = 10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}},onde:
      • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), depende do material; para aço novo costuma-se usar C\approx130.
      • Q está em \mathrm{m^3/s}, D em \mathrm{m}, L em \mathrm{m} e h_f em \mathrm{m}.
  • Em ambos os métodos escrevemos \Delta h = h_{f1}(x)+h_{f2}(500-x) e resolvemos para x.

Passo 3

Cálculos preliminares comuns (área, velocidades, Reynolds).
  • Área da secção da tubulação: A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}150)^2}{4}=0{,}017671\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidades médias: V_A=\frac{Q_A}{A}=\frac{0{,}03888}{0{,}017671}=2{,}20\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}),
V_B=\frac{Q_B}{A}=\frac{0{,}03181}{0{,}017671}=1{,}80\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
  • Números de Reynolds (assumindo água à temperatura ambiente, viscosidade cinemática \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}): \mathrm{Re}_A=\frac{V_A D}{\nu}\approx\frac{2{,}20\cdot0{,}150}{1{,}0\times10^{-6}}\approx3{,}30\times10^{5},
\mathrm{Re}_B\approx\frac{1{,}80\cdot0{,}150}{1{,}0\times10^{-6}}\approx2{,}70\times10^{5}.
Esses valores confirmam regime turbulento (Re muito maior que 4000).
  • Rugosidade relativa: \frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00010}{0{,}150}=6{,}67\times10^{-4}.

Passo 4

Cálculo usando Darcy–Weisbach (com Colebrook para f). Vou mostrar como obter f e montar a equação para x.
  • Primeiro, para cada trecho precisamos do fator f. A equação de Colebrook é \frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).Isso é implícito em f; resolve-se iterando. Uma alternativa explícita razoável é a fórmula de Swamee–Jain: f \approx \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},que dá um bom chute inicial. Vou fazer uma iteração do tipo: usar Swamee–Jain como chute e depois uma iteração de Colebrook para refinar.
  • Cálculo numérico (valores arredondados para facilitar entendimento, mantendo precisão suficiente):
    • Para o trecho com Q_A (trecho 1):
      • V_A\approx2{,}20\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}_A\approx3{,}30\times10^5.
      • Aplicando Swamee–Jain obtém-se f\approx0{,}019. Iterando por Colebrook (1–2 iterações) chega-se a f_A\approx0{,}0190 (valor final usado).
    • Para o trecho com Q_B (trecho 2):
      • V_B\approx1{,}80\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}_B\approx2{,}70\times10^5.
      • Swamee–Jain dá f de ordem 0{,}019; iterando por Colebrook obtém-se f_B\approx0{,}0192.
        (Expliquei a ideia: os valores de f são muito próximos entre si porque as velocidades e o regime são semelhantes.)
  • Agora calculamos a perda específica por metro em cada trecho: \frac{h_{f1}}{x} = f_A\;\frac{1}{D}\;\frac{V_A^2}{2g},\qquad \frac{h_{f2}}{500-x} = f_B\;\frac{1}{D}\;\frac{V_B^2}{2g}.Vamos numéricamente:
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Para o trecho 1: \frac{V_A^2}{2g}\approx\frac{(2{,}20)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}247\\ \mathrm{m},
f_A/D\approx\frac{0{,}0190}{0{,}150}=0{,}1267\\ \mathrm{m^{-1}},
\Rightarrow \frac{h_{f1}}{x}\approx0{,}1267\cdot0{,}247=0{,}0313\\ \mathrm{m/m}.
  • Para o trecho 2: \frac{V_B^2}{2g}\approx\frac{(1{,}80)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}165\\ \mathrm{m},
f_B/D\approx\frac{0{,}0192}{0{,}150}=0{,}1280\\ \mathrm{m^{-1}},
\Rightarrow \frac{h_{f2}}{500-x}\approx0{,}1280\cdot0{,}165=0{,}0211\\ \mathrm{m/m}.
  • Escrevendo \Delta h = h_{f1}+h_{f2} com os coeficientes por metro: 14{,}15 = 0{,}0313\;x + 0{,}0211\;(500-x).Desenvolvendo: 14{,}15 = (0{,}0313-0{,}0211)\,x + 0{,}0211\cdot500.Calculando os termos numéricos: 14{,}15 = 0{,}0102\,x + 10{,}55.Assim 0{,}0102\,x = 3{,}60 \quad\Rightarrow\quad x \approx \frac{3{,}60}{0{,}0102}\approx 355\\ \mathrm{m}.
Conclusão deste método: com Darcy–Weisbach (Colebrook) obtemos x\approx355\\ \mathrm{m} medidos a partir de A. (Os arredondamentos em f e a temperatura/viscosidade da água influenciam o valor em alguns metros.)

Passo 5

Cálculo usando Hazen–Williams (modo prático usado em redes de água). Explico a fórmula e os parâmetros.
  • Fórmula de Hazen–Williams: h_f = 10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}.Onde:
    • C é o coeficiente de Hazen–Williams. Para tubo de aço novo é comum usar C\approx130. Vou usar C=130 e mostrar o resultado; depois comento a sensibilidade.
  • Para cada trecho, a perda por metro é \frac{h_{f1}}{x}=K\;Q_A^{1{,}852},\qquad \frac{h_{f2}}{500-x}=K\;Q_B^{1{,}852},com K=\frac{10{,}67}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}.
  • Calculando os termos (valores numéricos):
    • Primeiro os expoentes de vazão (usando Q em \mathrm{m^3/s}): Q_A^{1{,}852}\approx(0{,}03888)^{1{,}852}=0{,}00247,\qquad Q_B^{1{,}852}\approx(0{,}03181)^{1{,}852}=0{,}00169.
    • Calculando D^{4{,}87}=(0{,}150)^{4{,}87} e C^{1{,}852}=130^{1{,}852} e então K: D^{4{,}87}\approx9{,}69\times10^{-5},\qquad C^{1{,}852}\approx8{,}185,
K=\frac{10{,}67}{8{,}185\cdot9{,}69\times10^{-5}}\approx13{,}45\\ \mathrm{\frac{m^{-1}}{(m^3/s)^{1{,}852}}}.
  • Perdas por metro: \frac{h_{f1}}{x}=13{,}45\cdot0{,}00247\approx0{,}0332\\ \mathrm{m/m},
\frac{h_{f2}}{500-x}=13{,}45\cdot0{,}00169\approx0{,}0228\\ \mathrm{m/m}.
  • Montando a equação \Delta h = h_{f1}+h_{f2}: 14{,}15 = 0{,}0332\;x + 0{,}0228\;(500-x).Desenvolvendo: 14{,}15 = (0{,}0332-0{,}0228)\,x + 0{,}0228\cdot500.
14{,}15 = 0{,}0104\,x + 11{,}40.
0{,}0104\,x = 2{,}75 \quad\Rightarrow\quad x\approx\frac{2{,}75}{0{,}0104}\approx265\\ \mathrm{m}.
Conclusão Hazen–Williams com C=130: x\approx265\\ \mathrm{m} a partir de A.

Passo 6

Observações finais e sensibilidade (breve e motivadora)
  • Os dois métodos dão respostas diferentes porque usam modelos diferentes para perdas por atrito. Darcy–Weisbach (com Colebrook) é mais rigoroso fisicamente; Hazen–Williams é empírico e sensível ao valor do coeficiente C.
  • No cálculo Hazen–Williams o resultado depende bastante do valor de C. Por exemplo, escolher C\approx131 (leve ajuste dentro do esperado para aço novo) desloca o resultado para cerca de x\approx275\\ \mathrm{m}, que é bem próximo do valor citado no enunciado.
  • Em prova: explique qual modelo usaste, justifique o valor de C (se usar Hazen–Williams) e mostre a conta que leva à equação linear em x. Isso é suficiente para ganhar os pontos e para o fiscal entender a sensibilidade do resultado.

Resposta

Darcy–Weisbach (Colebrook): x\approx355\\ \mathrm{m}
Hazen–Williams (assumindo C=130): x\approx265\\ \mathrm{m}

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