Seis pregos são usados para manter a viga em A contra a coluna. Determine o diâmetro mínimo exigido para cada prego, com aproximação de 1 mm , se forem feitos de material tendo \tau_{\text {rup }}= 112 M P a. Aplique um fator de segurança F . S .=2 na ruptura por cisalhamento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro mínimo exigido para cada um dos seis pregos que prendem a viga em A, considerando ruptura por cisalhamento do material com \tau_{\text{rup}}=112\\ \text{MPa} e fator de segurança F.S.=2. Peguei os valores mostrados na figura do enunciado.
Informações relevantes (extraídas da figura/enunciado):
  • A viga tem comprimento L=3{,}0\\ \text{m} entre A e B (peguei este valor da imagem).
  • A carga distribuída varia linearmente, com intensidade máxima em A igual a w_0=5\\ \text{kN/m} e decresce até zero em B (peguei este valor da imagem).
  • Número de pregos: n=6 (peguei este dado da imagem).
  • Tensão de ruptura por cisalhamento do material: \tau_{\text{rup}}=112\\ \text{MPa} (dado do enunciado).
  • Fator de segurança para ruptura por cisalhamento: F.S.=2 (dado do enunciado).
O que se deve calcular: diâmetro mínimo de cada prego (assumir que a carga vertical no apoio A é distribuída igualmente entre os 6 pregos e que cada prego trabalha em cisalhamento simples).

Passo 2

Calcular a carga total resultante da distribuição triangular.
Para uma carga triangular que tem intensidade máxima \,w_0 numa extremidade e zero na outra, a carga total \,W é a área do triângulo:
W=\tfrac{1}{2}w_0 L.
Substituindo os valores (uso kN e m para ter W em kN):
W=\tfrac{1}{2}\cdot 5\\ \text{kN/m}\cdot 3{,}0\\ \text{m}=7{,}5\\ \text{kN}.
Também é importante a posição de aplicação (centro de gravidade) dessa carga: para o triângulo com a ponta maior em A, o resultado age a uma distância
\bar{x}=\tfrac{1}{3}L
a partir de A. Assim \bar{x}=1{,}0\\ \text{m} a partir de A (peguei L e w_0 da imagem).

Passo 3

Equilíbrio vertical e de momentos para obter a reação vertical em A (que é a força que os pregos devem resistir em cisalhamento).
Seja R_A a reação vertical no conjunto de pregos em A e R_B a reação no apoio em B. Equilíbrio vertical:
R_A+R_B=W.
Equilíbrio de momentos em relação a B (tomando momentos positivos no sentido anti-horário):
R_A\cdot 3{,}0\\ \text{m} - W\cdot(3{,}0-\bar{x})=0.
Aqui a distância do resultado W até B é 3{,}0-\bar{x}=3{,}0-1{,}0=2{,}0\\ \text{m}. Então:
R_A=\frac{W\cdot 2{,}0}{3{,}0}.
Substituindo W=7{,}5\\ \text{kN}:
R_A=\frac{7{,}5\cdot 2{,}0}{3{,}0}=5{,}0\\ \text{kN}.
Logo a reação no apoio B é
R_B=W-R_A=7{,}5-5{,}0=2{,}5\\ \text{kN}.
Comentário didático rápido: a ideia é que os pregos em A transfiram para a parede a força vertical R_A; portanto a soma das forças verticais e momentos determina quanto os pregos devem resistir.

Passo 4

Determinar a força de cisalhamento que age em cada prego, assumindo distribuição igual entre os 6 pregos.
Força total a ser resistida pelos pregos em A (vertical) é R_A=5{,}0\\ \text{kN}. Se os 6 pregos compartilham igualmente:
V_{\text{por\_prego}}=\frac{R_A}{n}=\frac{5{,}0\\ \text{kN}}{6}=0{,}833333\ldots\\ \text{kN}=833{,}33\\ \text{N}.

Passo 5

Determinar a tensão de cisalhamento admissível usando o fator de segurança.
A tensão admissível em cisalhamento é a tensão última dividida pelo fator de segurança:
\tau_{\text{adm}}=\frac{\tau_{\text{rup}}}{F.S.}=\frac{112\\ \text{MPa}}{2}=56\\ \text{MPa}.
Explicação didática: a tensão de cisalhamento média em um prego carregado em cisalhamento simples é \tau=V/A, onde V é a força de cisalhamento e A é a área da seção transversal do prego. Para segurança, usamos \tau_{\text{adm}} em vez de \tau_{\text{rup}}.

Passo 6

Relacionar força, área e tensão para obter a área necessária do prego e daí o diâmetro.
Área necessária do prego (seção circular) a partir de \tau_{\text{adm}}=\dfrac{V_{\text{por\_prego}}}{A} é:
A_{\text{req}}=\frac{V_{\text{por\_prego}}}{\tau_{\text{adm}}}.
Substituindo V_{\text{por\_prego}}=833{,}33\\ \text{N} e \tau_{\text{adm}}=56\cdot 10^{6}\\ \text{N/m}^2:
A_{\text{req}}=\frac{833{,}33}{56\cdot 10^{6}}=1{,}488095\times 10^{-5}\\ \text{m}^2.
Como a seção é circular, A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Então
d^2=\frac{4A_{\text{req}}}{\pi}, \qquad d=\sqrt{\frac{4A_{\text{req}}}{\pi}}.
Substituindo A_{\text{req}}:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 1{,}488095\times 10^{-5}}{\pi}} =\sqrt{1{,}894\times 10^{-5}}\\ \text{m}.
Calculando:
d\approx 0{,}004351\\ \text{m}=4{,}351\\ \text{mm}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento para o requisito prático.
O diâmetro mínimo calculado é d\approx 4{,}35\\ \text{mm}. Como se pede aproximação de 1\\ \text{mm} e na prática o diâmetro do prego deve ser pelo menos o valor calculado (não menor), deve-se escolher o próximo valor inteiro em milímetros que satisfaça a condição. Portanto o diâmetro mínimo prático é
d_{\text{mín}}=5\\ \text{mm}.í
Motivação curta e encorajamento: deu trabalho, mas o procedimento foi direto — resultado da estática (reação em A), divisão por número de pregos, aplicar tensão admissível e resolver para d. Está ok escolher 5 mm para garantir segurança.

Resposta

d_{\text{mín}}=5\\ \text{mm}í

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